La somme dans le bon ordre

La représentation des nombres · niveau 2

Énoncé

Évaluer la somme de la série $\sum_{k = 1}^{1 0^{7}} \frac{1}{k ^{2}}$ par ordre croissant puis décroissant d'indice. Expliquer la différence.

Somme croissante : 1.6449339668472596
Somme décroissante : 1.6449339668482315 (valeur la plus proche de la somme partielle exacte ; toutes deux restent à environ $1 0^{- 7}$ de $π^{2} /6$ , écart dû à la troncature de la série). Dans l'ordre croissant, l'accumulateur atteint rapidement sa valeur finale ( $\approx 1, 64$ ). Les termes pour de grands $k$ deviennent extrêmement petits (de l'ordre de $1 0^{- 14}$ ) et subissent une absorption presque complète lorsqu'ils sont ajoutés à l'accumulateur. Dans l'ordre décroissant, les petits termes s'additionnent d'abord entre eux et grandissent suffisamment pour ne pas être absorbés lors de l'intégration des premiers termes.