La somme dans le bon ordre

Exercice · informatique (tronc commun des prépas scientifiques), chapitre 11 — La représentation des nombres

Énoncé

Évaluer la somme de la série $\sum_{k = 1}^{1 0^{7}} \frac{1}{k ^{2}}$ par ordre croissant puis décroissant d'indice. Expliquer la différence.

Somme croissante : 1.6449339668472596
Somme décroissante : 1.6449339668482315 (valeur la plus proche de la limite exacte $π^{2} /6$ ). Dans l'ordre croissant, l'accumulateur atteint rapidement sa valeur finale ( $\approx 1.64$ ). Les termes pour de grands $k$ deviennent extrêmement petits (de l'ordre de $1 0^{- 14}$ ) et subissent une absorption presque complète lorsqu'ils sont ajoutés à l'accumulateur. Dans l'ordre décroissant, les petits termes s'additionnent d'abord entre eux et grandissent suffisamment pour ne pas être absorbés lors de l'intégration des premiers termes.

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.