Quantité conjuguée et annulation catastrophique

Exercice · informatique (tronc commun des prépas scientifiques), chapitre 11 — La représentation des nombres

Énoncé

Montrer que l'évaluation naïve de la différence de racines $x + 1 - x$ pour $x = 1 0^{12}$ est imprécise et proposer une formulation stable.

import math
x = 1e12
naive = math.sqrt(x + 1) - math.sqrt(x)
stable = 1 / (math.sqrt(x + 1) + math.sqrt(x))

Version naïve : 5.00003807246685e-07
Version stable : 4.99999999999875e-07 Les deux racines ont pour valeur approchée $\approx 1 0^{6}$ . La soustraction directe de ces valeurs très proches élimine les 13 premiers chiffres de la mantisse, ne laissant subsister que le bruit d'arrondi. En multipliant par la quantité conjuguée, on élimine la soustraction au profit d'une somme stable, garantissant 16 chiffres significatifs.

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.