Les allumettes, théorie et pratique

La position $n$ est perdante au trait si et seulement si $n\equiv 0(\mathrm{mod}4)$.

• Pour $n=21$ : $21\equiv 1(\mathrm{mod}4)$. La position est gagnante pour le premier joueur. Le coup gagnant consiste à retirer $21\mathrm{mod}4=1$ allumette pour laisser $20$ allumettes (multiple de $4$) à l'adversaire.
• Pour $n=24$ : $24\equiv 0(\mathrm{mod}4)$. La position est perdante pour le premier joueur. Face à un adversaire jouant parfaitement, $J_1$ perdra la partie.
• Pour $n=30$ : $30\equiv 2(\mathrm{mod}4)$. La position est gagnante pour $J_1$. Le coup gagnant consiste à retirer $30\mathrm{mod}4=2$ allumettes pour laisser $28$ allumettes à l'adversaire.
• Généralisation (prise de $1$ à $k$) : Les positions perdantes au trait sont les multiples de $k+1$. La stratégie gagnante consiste à retirer $n\mathrm{mod}(k+1)$ allumettes pour laisser un multiple de $k+1$ à l'adversaire, puis à compléter chaque prise adverse de $p$ allumettes en retirant $(k+1)-p$ allumettes.