Ce que dit un coefficient diagonal

Le coefficient $a_{ij}$ vaut $1$ lorsqu'il existe un arc de $i$ vers $j$. Donc $a_{ii}=1$ signifie qu'il existe un arc de $i$ vers lui-même : le sommet $i$ porte une boucle.

Dans la plupart des modélisations la diagonale est nulle — on ne se suit pas soi-même sur un réseau social, une ville n'a pas de route vers elle-même. Mais rien dans la définition ne l'interdit, et certaines modélisations s'en servent : un état d'un automate qui se répète, un individu qui reste dans sa catégorie d'un mois sur l'autre.

Conséquence pour les puissances : $(A^d{)}_{ii}$ compte les chemins de longueur $d$ de $i$ à $i$ ; une boucle en fournit un pour chaque $d$.