La matrice de $K_4$

Dans $K_4$, chaque paire de sommets distincts est reliée :

$$A=\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 1& 1\\ 1& 0& 1& 1\\ 1& 1& 0& 1\\ 1& 1& 1& 0\end{array}\right).$$

La diagonale est nulle : pas de boucle. La matrice est symétrique : le graphe n'est pas orienté.

Degrés. Chaque ligne contient trois $1$, donc tous les sommets sont de degré $3$, et la somme des degrés vaut $4\times 3=12$.

Formule d'Euler. Le nombre d'arêtes est $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)=6$, et l'on a bien $12=2\times 6$. Chaque arête est comptée deux fois dans la somme des degrés, une fois par extrémité.