Retrouver le nombre d'arêtes

Le nombre d'arêtes. La somme des degrés vaut $$4\times 3+2\times 2=12+4=16.$$ La formule d'Euler donne $2m=16$, donc $m=8$ arêtes.

Le compte est cohérent : la somme est paire, comme elle doit l'être, et le nombre de sommets de degré impair — les quatre sommets de degré $3$ — est bien pair.

La seconde question. La somme des degrés proposés vaut $$4+3+3+2+1=13,$$ qui est impair. Or la somme des degrés vaut toujours $2m$, un nombre pair : une telle liste de degrés est donc impossible, quel que soit le dessin qu'on tenterait.

Ce que le test ne dit pas. La parité de la somme est une condition nécessaire, pas suffisante. Une liste peut avoir une somme paire et rester impossible : par exemple $4,4,1,1$ sur quatre sommets a pour somme $10$, donc $m=5$, mais un sommet de degré $4$ devrait être relié à quatre sommets distincts de lui-même, alors qu'il n'y en a que trois. Le premier test se fait sur la parité, le second sur la majoration $\mathrm{deg}(s)\le n-1$.