Tout lire sur la matrice

Orienté ou non. La matrice est symétrique : on vérifie $a_{12}=a_{21}=1$, $a_{13}=a_{31}=1$, $a_{14}=a_{41}=0$, $a_{23}=a_{32}=1$, $a_{24}=a_{42}=1$, $a_{34}=a_{43}=1$. Or une arête d'un graphe non orienté relie $i$ à $j$ et $j$ à $i$ : la symétrie de $A$ traduit exactement l'absence d'orientation. Le graphe est donc non orienté.

Les boucles. Un coefficient diagonal $a_{ii}=1$ signalerait une arête d'un sommet vers lui-même. Ici la diagonale est nulle : il n'y a aucune boucle.

Les arêtes. On lit les $1$ situés au-dessus de la diagonale (les lire au-dessous les compterait une seconde fois) : $$\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\},\{2,4\},\{3,4\}.$$ Il y a donc $m=5$ arêtes.

Les degrés. Le degré d'un sommet est la somme des coefficients de sa ligne : $$\mathrm{deg}(1)=2,\mathrm{deg}(2)=3,\mathrm{deg}(3)=3,\mathrm{deg}(4)=2.$$

Contrôle par la formule d'Euler. $2+3+3+2=10=2\times 5$ : la somme des degrés vaut bien le double du nombre d'arêtes. Ce contrôle coûte une addition et détecte la plupart des erreurs de lecture.

Complet ? Non. Le graphe complet $K_4$ a $\frac{4\times 3}{2}=6$ arêtes et tous ses sommets de degré $3$ ; ici il n'y en a que $5$, et la paire $\{1,4\}$ n'est pas reliée — ce que le coefficient $a_{14}=0$ annonçait directement.