Exercices corrigés — Informatique et algorithmique (mathématiques approfondies (ECG 1re année))

35 exercices avec corrigé rédigé, du plus simple au plus exigeant.

Matrices et systèmes linéaires

• Deux produits qui n'en sont pas un
• Résoudre, et vérifier
• Une puissance de matrice, conjecturée puis démontrée

Suites, séries et calculs approchés

• Approcher ${\pi }^2/6$
• L'escalier de la suite de Héron
• L'ordre de convergence des rectangles
• Dichotomie : le nombre d'itérations se calcule d'avance

Simuler une loi, estimer une probabilité

• Trois lois simulées à la main
• Simuler une loi de Poisson
• Le paradoxe des anniversaires, simulé puis calculé
• Le collectionneur de vignettes

Fréquences, convergences et loi de Gauss

• La binomiale converge-t-elle vers Poisson ?
• Tchebychev, mis à l'épreuve
• Fréquences cumulées et fonction de répartition
• Quand la cloche apparaît-elle ?

Boucles, arrêt et algorithmes

• Un rang d'arrêt qu'aucune formule ne donne Exercice d'entraînement
• Moyenne et variance, calculées à la main puis contrôlées Exercice d'entraînement
• Élever une matrice à une puissance en ${\log }_{2}n$ produits Exercice d'entraînement

Matrices et rang

• Décider la liberté d'une famille avec al.rank Exercice d'entraînement
• Remonter un système triangulaire, sans al.solve Exercice d'entraînement

Séries et calcul approché

• Un critère d'arrêt justifié par le reste Exercice d'entraînement
• Le rang, prédit par une intégrale, puis mesuré Exercice d'entraînement

Simulation et estimation

• Estimer $\pi$ en tirant des points au hasard Exercice d'entraînement
• Le temps d'attente du double six Exercice d'entraînement
• Une marche aléatoire, et la loi exacte de sa position Exercice d'entraînement
• Le maximum de $n$ tirages Exercice d'entraînement
• La ruine du joueur, prédite puis simulée Exercice d'entraînement

Premiers pas en Python

• Lire trois boucles Application directe du cours
• Une fonction qui compte Application directe du cours
• Somme et produit d'une liste, à la main Application directe du cours

Tableaux numpy

• Créer et lire un tableau Application directe du cours
• Transposer, et extraire une ligne ou une colonne Application directe du cours
• Le rang de trois matrices Application directe du cours

Simulation

• Un dé, une pièce, et deux fréquences Application directe du cours
• Une fréquence, et la probabilité exacte Application directe du cours

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