L'année où le petit placement rattrape le gros

Le script. Le nombre de tours n'est pas connu d'avance : c'est un while.

A = 5000
B = 8000
n = 0
while A < B:
    A = A*1.06
    B = B*1.02
    n = n + 1
print(n, A, B)

Pourquoi la boucle s'arrête. Après $n$ années, $A=5000\times (1,06{)}^n$ et $B=8000\times (1,02{)}^n$. Le rapport $$\frac{A}{B}=\frac{5000}{8000}{\left(\frac{1,06}{1,02}\right)}^n=0,625\times (1,0392{)}^n$$ est une suite géométrique de raison strictement supérieure à $1$ : elle tend vers $+\infty$, donc elle finit par dépasser $1$. La condition A < B devient donc fausse au bout d'un nombre fini de tours.

La réponse. On cherche le plus petit $n$ tel que $(1,0392{)}^n\ge 1,6$. Comme $(1,0392{)}^{12}\approx 1,587<1,6$ et $(1,0392{)}^{13}\approx 1,649\ge 1,6$, il faut $13$ années.

Contrôle. Le script affiche 13 puis $A\approx 10665$ et $B\approx 10349$ euros : A est bien passé devant. À l'année $12$, on aurait eu $A\approx 10061$ et $B\approx 10146$ : B était encore devant.

Le point délicat. Il faut faire progresser les deux placements dans le corps de la boucle. Oublier la ligne B = B*1.02 laisserait B fixe et donnerait une réponse plus petite, sans que le script signale quoi que ce soit.