Quand la somme dépasse cinq

Pourquoi pas for. Une boucle for exige de connaître le nombre de tours avant de commencer. Or c'est précisément ce nombre que l'on cherche : on a une condition d'arrêt, pas un compte. C'est le cas d'emploi du while.

Le script.

s = 0
n = 0
while s < 5:
    n = n + 1
    s = s + 1/n
print(n, s)
# 83 5.002068272680166

L'ordre des deux lignes compte. On incrémente n avant d'ajouter 1/n. Dans l'autre ordre, le premier tour diviserait par zéro et le script s'arrêterait sur une erreur.

La réponse. $n=83$, et la somme vaut alors $5,0021$.

Le contrôle. Avec $82$ termes la somme ne vaut que $4,9900$ : elle est donc bien passée au-dessus de $5$ entre le $82^{\text{e}}$ et le $83^{\text{e}}$ terme, ce qui confirme que $83$ est le plus petit.

Ce que cela révèle. La somme croît, mais de plus en plus lentement : il a fallu $83$ termes pour atteindre $5$, et il en faudrait plus de $12000$ pour atteindre $10$. Elle finit pourtant par dépasser n'importe quel seuil, aussi grand soit-il — c'est une croissance sans limite, mais d'une lenteur que l'intuition refuse.

Le point à retenir. for quand le nombre de tours est connu, while quand il est cherché. Et une boucle while se relit toujours en se demandant ce qui, dans son corps, la fait progresser vers l'arrêt.