Simuler pour retrouver une loi

Exercice · niveau 3 (difficile) · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 13 — Informatique et algorithmique · Simulation aléatoire

Énoncé

On simule le nombre de clients, parmi $5$ démarchés, qui acceptent un rendez-vous, chacun acceptant avec probabilité $0, 2$ . (1) Écrire binomiale(n, p) à partir de la fonction lancer du cours. (2) Quelle loi exacte suit cette variable ? Donner $P (X = 1)$ et $E (X)$ . (3) Sur $10000$ essais, la fréquence de la valeur $1$ vaut $0, 4047$ et la moyenne des essais $1, 0198$ . Commenter.

Corrigé

1. La fonction. On accumule $n$ épreuves de Bernoulli.


def binomiale(n, p):
    s = 0
    for i in range(n):
        s = s + lancer(p)
    return s

2. La loi exacte. Cinq épreuves identiques et indépendantes dont on compte les succès : $X ↪ B (5; 0, 2)$ , donc $P (X = 1) = (1 5) 0, 2 \times 0, 8^{4} = 5 \times 0, 2 \times 0, 4096 = 0, 4096$ et $E (X) = 1$ . 3. Commentaire. La fréquence observée $0, 4047$ approche $0, 4096$ à $0, 005$ près, et la moyenne $1, 0198$ approche $1$ à $0, 02$ près. La simulation corrobore le calcul sans le remplacer : sur un autre jeu de tirages, les chiffres seraient différents.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.