Suivre une boucle while pas à pas

u = 3
n = 0
while u < 50:
    u = 2*u + 1
    n = n + 1
print(n, u)

Le mécanisme. Une boucle while teste sa condition avant chaque tour. Tant que u est strictement inférieur à $50$, on remplace u par 2*u + 1 et on ajoute $1$ au compteur n.

Les tours, un par un.

avant le tour	test u < 50	u après	n après
$u=3$	vrai	$7$	$1$
$u=7$	vrai	$15$	$2$
$u=15$	vrai	$31$	$3$
$u=31$	vrai	$63$	$4$
$u=63$	faux	—	—

L'affichage. Au cinquième test, $63<50$ est faux : la boucle s'arrête sans rien modifier. Le script affiche donc

4 63

Le point délicat. La valeur finale de u est $63$, et non $31$ : la boucle ne s'arrête pas « juste avant » de dépasser le seuil, elle exécute un tour de trop du point de vue du seuil. Le dernier u calculé est le premier qui dépasse $50$ — c'est précisément ce qu'on cherche quand on programme un rang d'arrêt.

Pourquoi la boucle se termine. À chaque tour u est remplacé par $2u+1>u$ dès que $u>-1$ : la suite croît strictement, elle finira donc par dépasser $50$. C'est la question à se poser avant tout while : qu'est-ce qui fait progresser vers l'arrêt ?