Exercices corrigés — Raisonnement et vocabulaire ensembliste (mathématiques (PCSI))

26 exercices avec corrigé rédigé, du plus simple au plus exigeant.

A. Assertions et connecteurs logiques

• La barre de Sheffer Exercice de TD
• Table de vérité d'une implication Application directe du cours
• La négation d'une implication Application directe du cours

C. Modes de raisonnement

• Deux équations fonctionnelles, par analyse-synthèse Exercice de TD
• Raisonnement par analyse-synthèse Application directe du cours
• Rationnel plus irrationnel Application directe du cours

D. Raisonnement par récurrence

• Renforcer l'hypothèse de récurrence Exercice de TD
• Récurrence double et suite de Fibonacci Application directe du cours
• Le paradoxe des crayons Application directe du cours

E. Vocabulaire des ensembles

• Quatre équations dans l'ensemble des parties Exercice de TD
• Propriétés algébriques de la fonction indicatrice Application directe du cours
• Les cinq partitions d'un ensemble à trois éléments Application directe du cours

G. Divisibilité, division euclidienne, PGCD et PPCM

• Le PGCD de deux nombres de Mersenne Exercice de TD
• Problème — Le théorème de Lamé Exercice de TD
• Division euclidienne Application directe du cours
• PGCD et PPCM par l'algorithme d'Euclide Application directe du cours
• Reconstituer deux entiers d'après leur PGCD et leur PPCM Application directe du cours

H. Nombres premiers, décomposition et irrationalité

• La racine carrée d'un entier qui n'est pas un carré Exercice de TD
• Irrationalité de $\sqrt{3}$ Application directe du cours
• Des déserts de nombres premiers Application directe du cours

F. Applications, images directes et réciproques

• Trois inclusions et ce qu'elles mesurent Exercice de TD
• Inverses à gauche et à droite, et $f\circ f\circ f=f$ Exercice de TD
• Une bijection de $\mathbb{N}\times \mathbb{N}$ sur ${\mathbb{N}}^{\ast }$ Exercice de TD
• Image directe de l'intersection Application directe du cours

B. Quantificateurs et négations

• Négation d'assertions quantifiées Application directe du cours
• Trois assertions ensemblistes, quantifiées puis niées Application directe du cours

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