Base de polynômes échelonnée

Application directe du cours · niveau 2 · mathématiques (PCSI), chapitre 10 — Espaces vectoriels et applications linéaires · B. Familles libres, génératrices, bases

Énoncé

Montrer que $B = (1, X - 1, (X - 1)^{2}, (X - 1)^{3})$ est une base de $R_{3} [X]$ et donner les coordonnées de $P = X^{3}$ dans $B$ .

Corrigé

Les degrés sont échelonnés ( $0, 1, 2, 3$ ) : la famille est libre ; elle compte $4 = dim R_{3} [X]$ vecteurs : c'est une base (caractérisation en dimension finie — une seule vérification a suffi).

Les coordonnées de $P$ sont données par la formule de Taylor en $1$ (chapitre 8) : $P (1) = 1$ , $P^{'} (1) = 3$ , $\frac{P ^{''} ( 1 )}{2} = 3$ , $\frac{P ^{'''} ( 1 )}{6} = 1$ , soit

$X^{3} = 1 + 3 (X - 1) + 3 (X - 1)^{2} + (X - 1)^{3} — coordonn e ˊ es (1, 3, 3, 1) .$

(C'est aussi le binôme appliqué à $((X - 1) + 1)^{3}$ : tout se recoupe.)

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.