Base de polynômes échelonnée

Les degrés sont échelonnés ($0,1,2,3$) : la famille est libre ; elle compte $4=\dim {\mathbb{R}}_3[X]$ vecteurs : c'est une base (caractérisation en dimension finie — une seule vérification a suffi).

Les coordonnées de $P$ sont données par la formule de Taylor en $1$ (chapitre 8) : $P(1)=1$, $P^{\prime }(1)=3$, $\frac{P^{\prime \prime }(1)}{2}=3$, $\frac{P^{\prime \prime \prime }(1)}{6}=1$, soit

$$X^3=1+3(X-1)+3(X-1{)}^2+(X-1{)}^3\text{— coordonneˊes }(1,3,3,1).$$

(C'est aussi le binôme appliqué à $((X-1)+1{)}^3$ : tout se recoupe.)