Deux espaces de dimension 3 dans un espace de dimension 5

Stratégie : la formule de Grassmann, lue à l'envers. On ne sait rien de $F$ ni de $G$ : ni base, ni équation. On ne peut donc pas calculer $F\cap G$. Mais on peut le coincer, en majorant $F+G$ — car $F+G$ vit dans ${\mathbb{R}}^5$ et ne peut pas y être plus grand que ${\mathbb{R}}^5$.

La majoration. $F+G$ est un sous-espace de ${\mathbb{R}}^5$, donc $$\dim (F+G)⩽5.$$

La formule de Grassmann. $$\dim (F+G)=\dim F+\dim G-\dim (F\cap G)=3+3-\dim (F\cap G).$$

La conclusion. En combinant les deux : $$\dim (F\cap G)=6-\dim (F+G)⩾6-5=1.$$ Un sous-espace de dimension au moins $1$ n'est pas réduit au vecteur nul : $$\boxed{F\cap G\ne \{0\}:\text{les deux espaces se coupent au moins selon une droite.}}$$

⚠️ Le point délicat : c'est la majoration $\dim (F+G)⩽\dim E$ qui fait tout le travail, et c'est elle qu'on oublie. On a envie de « calculer » l'intersection ; il n'y a rien à calculer, puisqu'on ne connaît pas les espaces. Toute la démonstration est un décompte de dimensions, sans un seul vecteur.

Le résultat général, qu'on vient de démontrer sans le dire. Dans un espace $E$ de dimension finie, $$\dim F+\dim G>\dim E⟹F\cap G\ne \{0\}.$$ La borne est fine : dans ${\mathbb{R}}^6$, deux sous-espaces de dimension $3$ peuvent parfaitement être supplémentaires, donc d'intersection nulle. C'est bien le « dépassement » $3+3>5$ qui force la rencontre.

Contrôle sur un exemple explicite. Dans ${\mathbb{R}}^5$, prenons $F=\mathrm{Vect}(e_1,e_2,e_3)$ et $G=\mathrm{Vect}(e_3,e_4,e_5)$. Leur intersection est la droite $\mathrm{Vect}(e_3)$, de dimension $1$, et l'on vérifie Grassmann : $3+3-1=5=\dim (F+G)$, ce qui est correct puisque $F+G={\mathbb{R}}^5$. Un tirage de trente couples de sous-espaces de dimension $3$ pris au hasard donne à chaque fois une intersection de dimension au moins $1$ — la minoration n'est jamais mise en défaut.

Ce que l'exercice installe. Grassmann sert rarement à calculer une somme ; il sert surtout à minorer une intersection qu'on ne sait pas décrire. C'est le même argument qui montre que deux plans distincts de ${\mathbb{R}}^3$ se coupent selon une droite, ou qu'en dimension $n$ deux hyperplans distincts se coupent selon un sous-espace de dimension $n-2$.