Deux formes linéaires de même noyau

La stratégie. Casser $E$ en deux morceaux sur lesquels la comparaison est facile. Sur le noyau de $\phi$, les deux formes sont nulles : il n'y a rien à comparer. Il ne reste qu'une droite, c'est-à-dire un seul scalaire — et le cours fournit exactement cette décomposition.

1) La comparaison. Comme $\phi \ne 0$, $H=\mathrm{Ker}\phi$ est un hyperplan ; comme $x_0\notin H$, la droite $\mathbb{K}{x}_0$ n'est pas contenue dans $H$, et le théorème du cours donne $E=H\oplus \mathbb{K}{x}_0$. De plus $\phi (x_0)\ne 0$, donc $\lambda =\frac{\psi (x_0)}{\phi (x_0)}$ est bien défini. Soit $x\in E$, écrit de manière unique $x=h+t{x}_0$ avec $h\in H$ et $t\in \mathbb{K}$. Comme $\phi (h)=0$ et, par l'inclusion des noyaux, $\psi (h)=0$ : $$\psi (x)=\psi (h)+t\psi (x_0)=t\psi (x_0)$$ et $$\lambda \phi (x)=\lambda \phi (h)+\lambda t\phi (x_0)=t\psi (x_0).$$ Les deux quantités sont égales pour tout $x$ : $\psi =\lambda \phi$. (Si $\psi =0$, on trouve $\lambda =0$ : l'hypothèse n'est qu'une inclusion.)

2) Même noyau. Si $\phi$ et $\psi$ sont non nulles de même noyau, le 1) donne $\psi =\lambda \phi$, et $\lambda \ne 0$ puisque $\psi \ne 0$. Réciproquement, si $\psi =\lambda \phi$ avec $\lambda \ne 0$, $\psi (x)=0$ équivaut à $\phi (x)=0$ : même noyau. Deux formes linéaires non nulles ont le même noyau si et seulement si elles sont proportionnelles : un hyperplan a une équation, unique à un facteur non nul près.

Le point délicat. L'hypothèse $\phi \ne 0$ n'est pas décorative : c'est elle qui fait de $\mathrm{Ker}\phi$ un hyperplan strict, donc elle qui fournit un vecteur $x_0$ hors du noyau. Sans ce vecteur, ni décomposition $E=H\oplus \mathbb{K}{x}_0$, ni scalaire $\lambda$.

3) Applications. a) Les équations du plan $\{x+2y-z=0\}$ sont exactement les $\alpha x+2\alpha y-\alpha z=0$ avec $\alpha \ne 0$ : toute forme non nulle de même noyau est proportionnelle à $(x,y,z)\mapsto x+2y-z$. Par exemple, $3x+6y-3z=0$ en est une ; $x+y+z=0$ n'en est pas une, et de fait le vecteur $(1,0,1)$ annule la première forme et pas la seconde.

b) La forme $c_n$ : « coefficient de $X^n$ » est linéaire, non nulle ($c_n(X^n)=1$), et son noyau est exactement ${\mathbb{R}}_{n-1}[X]$. Une forme $\psi$ nulle sur ${\mathbb{R}}_{n-1}[X]$ vérifie $\mathrm{Ker}{c}_n\subset \mathrm{Ker}\psi$, donc, par le 1), $\psi =\lambda c_n$ avec $\lambda =\psi (X^n)$. De même, l'évaluation $e_1:P\mapsto P(1)$ est une forme non nulle ($e_1(1)=1$) de noyau $\{P:P(1)=0\}$ : une forme nulle sur ce noyau s'écrit $\lambda e_1$, avec $\lambda =\psi (1)$.

Ce que l'exercice installe. Une application linéaire se compare morceau par morceau d'une somme directe : ici, la décomposition $E=H\oplus \mathbb{K}{x}_0$ réduit la comparaison de deux formes sur tout $E$ à celle de deux nombres. Le b) resservira : au TD 13, la méthode de Simpson sera exacte sur ${\mathbb{R}}_3[X]$ ; son erreur, forme linéaire sur ${\mathbb{R}}_4[X]$ nulle sur ${\mathbb{R}}_3[X]$, y est donc proportionnelle au coefficient de $X^4$ — le calcul d'une seule valeur suffit à la connaître entièrement.