Fibonacci : une dimension 2 et la formule de Binet

Stratégie : identifier l'espace à ${\mathbb{R}}^2$ par un isomorphisme, puis y exhiber une base explicite. La dimension se lit sur les conditions initiales, la base sur les suites géométriques.

a) $E$ est un espace vectoriel de dimension 2.

C'est un sous-espace. La suite nulle vérifie la relation. Et si $u$ et $v$ la vérifient, alors pour tout $n$ : $$(\lambda u+v{)}_{n+2}=\lambda u_{n+2}+v_{n+2}=\lambda (u_{n+1}+u_n)+(v_{n+1}+v_n)=(\lambda u+v{)}_{n+1}+(\lambda u+v{)}_n.$$ Donc $E$ est un sous-espace de l'espace des suites réelles.

Sa dimension est $2$. Considérons $$\Phi :E⟶{\mathbb{R}}^2,u⟼(u_0,u_1).$$ Elle est linéaire, car chaque coordonnée l'est. Elle est injective : si $u_0=u_1=0$, une récurrence à deux pas donne $u_n=0$ pour tout $n$, puisque chaque terme est déterminé par les deux précédents. Elle est surjective : partant de deux réels $a$ et $b$, la relation de récurrence construit une suite de $E$ avec $u_0=a$ et $u_1=b$.

$\Phi$ est donc un isomorphisme, et $\dim E=\dim {\mathbb{R}}^2=2$.

⚠️ Le point délicat est là, et il est souvent escamoté. L'injectivité et la surjectivité disent deux choses différentes : l'une que les deux premiers termes déterminent toute la suite, l'autre qu'on peut les choisir librement. Résumer cela par « il y a deux conditions initiales » cache la moitié du raisonnement. Et l'injectivité demande une récurrence à deux pas : il faut initialiser sur deux rangs, pas un.

b) Une base de suites géométriques.

Une suite géométrique $(r^n)$ avec $r\ne 0$ appartient à $E$ si et seulement si $r^{n+2}=r^{n+1}+r^n$ pour tout $n$, c'est-à-dire, après division par $r^n$ : $$r^2=r+1.$$ Cette équation a pour racines $$\phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2},{\phi }^{\prime }=\frac{1-\sqrt{5}}{2},$$ toutes deux non nulles. Les suites $\left({\phi }^n\right)$ et $\left({\phi }^{\prime n}\right)$ sont donc dans $E$.

Elles sont libres. Supposons $a{\phi }^n+b{\phi }^{\prime n}=0$ pour tout $n$. En $n=0$ : $a+b=0$. En $n=1$ : $a\phi +b{\phi }^{\prime }=0$. En reportant $b=-a$ : $a(\phi -{\phi }^{\prime })=0$, et comme $\phi -{\phi }^{\prime }=\sqrt{5}\ne 0$, on obtient $a=0$ puis $b=0$.

Deux vecteurs libres dans un espace de dimension $2$ : c'est une base de $E$.

c) La formule de Binet.

La suite de Fibonacci, définie par $F_0=0$, $F_1=1$ et $F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$, appartient à $E$. Elle s'écrit donc dans la base : $F_n=a{\phi }^n+b{\phi }^{\prime n}$, où $a$ et $b$ se déterminent sur les deux premiers rangs : $$a+b=0,a\phi +b{\phi }^{\prime }=1.$$ D'où $b=-a$ et $a(\phi -{\phi }^{\prime })=a\sqrt{5}=1$, soit $a=\frac{1}{\sqrt{5}}$ : $$\boxed{F_n=\frac{{\phi }^n-{\phi }^{\prime n}}{\sqrt{5}},\phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2},{\phi }^{\prime }=\frac{1-\sqrt{5}}{2}.}$$

Contrôle numérique. Pour $n=10$ : ${\phi }^{10}=122,9919$ et ${\phi }^{\prime 10}=0,0081$, dont la différence divisée par $\sqrt{5}=2,2360$ vaut $55$ — qui est bien $F_{10}$. La vérification symbolique jusqu'à $n=14$ redonne exactement la suite $0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,\dots$ ✓

Remarquable au passage : une formule pleine de $\sqrt{5}$ produit des entiers à chaque rang — les deux irrationalités se détruisent parce que $\phi$ et ${\phi }^{\prime }$ sont conjuguées.

Ce que l'exercice installe. « Dimension » veut dire nombre de degrés de liberté, ici le nombre de conditions initiales. Le même raisonnement, mot pour mot, donne la dimension $2$ pour l'équation différentielle $y^{\prime \prime }+a{y}^{\prime }+by=0$ — et l'on voit pourquoi la théorie des suites récurrentes linéaires et celle des équations différentielles se ressemblent tant : ce sont deux espaces de dimension $2$, avec la même équation caractéristique.