Hyperplan, équation et supplémentaire

1. L'application $\phi :P\mapsto P(1)$ est une forme linéaire sur $E$ (linéarité de l'évaluation), non nulle puisque $\phi (1)=1$ : son noyau $H$ est un hyperplan. Pour $P=a_0+a_{1}X+a_2{X}^2+a_3{X}^3$, l'équation de $H$ dans la base canonique est

$$a_0+a_1+a_2+a_3=0.$$

1. Les polynômes $X-1$, $(X-1{)}^2$, $(X-1{)}^3$ appartiennent à $H$ (ils s'annulent en $1$) et sont de degrés distincts $1,2,3$ : la famille est libre. Or $\dim H=\dim E-1=3$ (hyperplan en dimension $4$) : trois vecteurs libres dans un espace de dimension $3$, c'est une base de $H$.

1. La droite $D=\mathrm{Vect}(1)$ n'est pas contenue dans $H$ car $\phi (1)=1\ne 0$ : par le théorème du cours, $E=H\oplus D$. La décomposition s'obtient en écrivant $P=(P-P(1))+P(1)$ ; ici $P(1)=2$, donc

$$X^3+X=\underset{\in H}{\underbrace{\left(X^3+X-2\right)}}+\underset{\in D}{\underbrace{2}}.$$

(Le projecteur sur $D$ parallèlement à $H$ est $P\mapsto P(1)$, vu comme polynôme constant.)