Le rang d'une somme, encadré

La stratégie. La majoration vient d'une inclusion d'images et de la formule de Grassmann ; la minoration, de la majoration elle-même, appliquée à un couple bien choisi — exactement comme l'inégalité triangulaire renversée des valeurs absolues.

1) La majoration. Soit $y\in \mathrm{Im}(u+v)$ : il existe $x$ tel que $y=u(x)+v(x)$, qui appartient à $\mathrm{Im}u+\mathrm{Im}v$. Donc $\mathrm{Im}(u+v)\subset \mathrm{Im}u+\mathrm{Im}v$. Un sous-espace inclus dans un autre est de dimension plus petite, et la formule de Grassmann majore la dimension d'une somme : $$\mathrm{rg}(u+v)\le \dim (\mathrm{Im}u+\mathrm{Im}v)=\mathrm{rg}u+\mathrm{rg}v-\dim (\mathrm{Im}u\cap \mathrm{Im}v)\le \mathrm{rg}u+\mathrm{rg}v.$$

2) La minoration. Voici le geste, et c'est tout l'exercice : on applique le 1) non pas au couple $(u,v)$, mais au couple $(u+v,-v)$, dont la somme vaut $u$ : $$\mathrm{rg}u=\mathrm{rg}((u+v)+(-v))\le \mathrm{rg}(u+v)+\mathrm{rg}(-v).$$ Or $\mathrm{Im}(-v)=\mathrm{Im}v$, donc $\mathrm{rg}(-v)=\mathrm{rg}v$, et $\mathrm{rg}u-\mathrm{rg}v\le \mathrm{rg}(u+v)$. En échangeant les rôles de $u$ et $v$, $\mathrm{rg}v-\mathrm{rg}u\le \mathrm{rg}(u+v)$. Les deux ensemble : $$|\mathrm{rg}u-\mathrm{rg}v|\le \mathrm{rg}(u+v)\le \mathrm{rg}u+\mathrm{rg}v.$$

3) Les cas d'égalité. Dans ${\mathbb{R}}^2$, soient $u$ la projection sur l'axe des abscisses parallèlement à l'axe des ordonnées, et $v$ la projection sur l'axe des ordonnées parallèlement à l'axe des abscisses : $\mathrm{rg}u=\mathrm{rg}v=1$ et $u+v=\mathrm{id}$, de rang $2=1+1$ — la majoration est atteinte. Avec $v=-u$ : $u+v=0$, de rang $0=|\mathrm{rg}u-\mathrm{rg}v|$ — la minoration est atteinte. Et avec $v=u$ non nul : $\mathrm{rg}(2u)=\mathrm{rg}u$, moitié de $\mathrm{rg}u+\mathrm{rg}v$ — la majoration peut être très large.

Le point délicat. La majoration du 1) perd l'information $\dim (\mathrm{Im}u\cap \mathrm{Im}v)$ : elle n'est une égalité que si les images sont en somme directe et si $\mathrm{Im}(u+v)$ remplit toute leur somme. Le premier exemple du 3) réunit les deux.

Ce que l'exercice installe. Le rang est sous-additif, comme la valeur absolue ou le cardinal d'une réunion ; et le procédé du 2) — appliquer une majoration déjà acquise à un couple déguisé pour en tirer une minoration — resservira toute l'année. Au TD 11, traduit en matrices, il montrera qu'une matrice de rang $r$ n'est jamais somme de moins de $r$ matrices de rang $1$.