mathématiques (PCSI) · Chapitre 10 · Exercice de TD
Le rang d'une somme, encadré
Espaces vectoriels et applications linéaires · D. Applications linéaires, noyaux et images · niveau 2
Énoncé
Soient un -espace vectoriel de dimension finie et .
1) Montrer que .
2) En déduire que .
3) Montrer que chacune des deux inégalités peut être une égalité, et que la première peut être très large.
Corrigé de la question 1
La stratégie. La majoration vient d'une inclusion d'images et de la formule de Grassmann ; la minoration, de la majoration elle-même, appliquée à un couple bien choisi — exactement comme l'inégalité triangulaire renversée des valeurs absolues.
1) La majoration. Soit : il existe tel que , qui appartient à . Donc . Un sous-espace inclus dans un autre est de dimension plus petite, et la formule de Grassmann majore la dimension d'une somme :
Question 2 : comment l'IA t'aide
2) En déduire que .
Élève
Pour le 2), le 1) ne donne qu'une majoration de , alors qu'ici on veut une minoration. Je ne vois pas comment retourner l'inégalité.
IA
Pense à l'inégalité triangulaire renversée pour les réels : comment la déduit-on de l'inégalité triangulaire ordinaire ? Cherche un geste analogue avec des endomorphismes.
Élève
Pour les réels, on écrit avant d'appliquer l'inégalité triangulaire. Ici, je pourrais écrire et appliquer le 1) à ce couple.
IA
C'est le bon geste. Quelle inégalité le 1) te donne-t-il alors, comment se compare à , et comment obtiens-tu ensuite l'autre moitié de la valeur absolue ?
L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.
Continue cet exercice avec l'IA
Reprends la question 2 là où le dialogue s'arrête, puis la suite de l'exercice.
Continuer avec l'IA — gratuit, sans inscriptionGratuit, sans inscription. L'IA te guide pas à pas, sans te donner la réponse.