Lecture linéaire des problèmes de l'année

Posons $u:y\mapsto y^{\prime }+y$, application linéaire de ${\mathcal{C}}^1(\mathbb{R})$ dans ${\mathcal{C}}^0(\mathbb{R})$ (linéarité de la dérivation et de la somme). Résoudre l'équation, c'est résoudre l'équation linéaire $u(y)=f$ avec $f:x\mapsto x$.

Noyau : $\mathrm{Ker}u=\{y:y^{\prime }+y=0\}=\mathrm{Vect}\left(x\mapsto e^{-x}\right)$ — une droite vectorielle (dimension $1$, conformément au cours).

Solution particulière : $y_0(x)=x-1$ (chapitre 4).

Conclusion : l'ensemble des solutions est

$$y_0+\mathrm{Ker}u=\left\{x\mapsto x-1+C{e}^{-x}:C\in \mathbb{R}\right\}.$$

La « constante d'intégration » $C$ n'est rien d'autre que la coordonnée le long de $\mathrm{Ker}u$ : un degré de liberté, parce que le noyau est de dimension $1$. Le même schéma relit les systèmes linéaires, l'EDL2 (deux constantes : noyau de dimension $2$) et les suites arithmético-géométriques — toute l'année unifiée par un seul théorème.