Lecture linéaire des problèmes de l'année

Application directe du cours · niveau 3 (difficile) · mathématiques (PCSI), chapitre 10 — Espaces vectoriels et applications linéaires · G. Équations linéaires

Énoncé

Relire la résolution de l'équation différentielle $y^{'} + y = x$ (chapitre 4) dans le langage de ce chapitre : identifier l'application linéaire, son noyau, et décrire l'ensemble des solutions sous la forme $y_{0} + Ker u$ .

Corrigé

Posons $u : y \mapsto y^{'} + y$ , application linéaire de $C^{1} (R)$ dans $C^{0} (R)$ (linéarité de la dérivation et de la somme). Résoudre l'équation, c'est résoudre l'équation linéaire $u (y) = f$ avec $f : x \mapsto x$ .

Noyau : $Ker u = {y : y^{'} + y = 0} = Vect (x \mapsto e^{- x})$ — une droite vectorielle (dimension $1$ , conformément au cours).

Solution particulière : $y_{0} (x) = x - 1$ (chapitre 4).

Conclusion : l'ensemble des solutions est

$y_{0} + Ker u = {x \mapsto x - 1 + C e^{- x} : C \in R} .$

La « constante d'intégration » $C$ n'est rien d'autre que la coordonnée le long de $Ker u$ : un degré de liberté, parce que le noyau est de dimension $1$ . Le même schéma relit les systèmes linéaires, l'EDL2 (deux constantes : noyau de dimension $2$ ) et les suites arithmético-géométriques — toute l'année unifiée par un seul théorème.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.