mathématiques (PCSI) · Chapitre 10 · Exercice de TD

Les signaux de pulsation $ω$ forment un plan

Espaces vectoriels et applications linéaires · C. Dimension · niveau 2

Énoncé

Soit $ω > 0$ . On note $S_{ω}$ l'ensemble des fonctions $t \mapsto A cos (ω t + φ)$ , où $A$ et $φ$ parcourent $R$ (les signaux sinusoïdaux de pulsation $ω$ ), et $c : t \mapsto cos ω t$ , $s : t \mapsto sin ω t$ .

1) Montrer que $S_{ω} = Vect (c, s)$ , que $(c, s)$ en est une base, et que $S_{ω}$ est exactement l'ensemble des solutions réelles de $y^{''} + ω^{2} y = 0$ . Quelle est sa dimension ?

2) Amplitude complexe. Montrer que, pour tout $f \in S_{ω}$ , il existe un unique $z_{f} \in C$ tel que $f (t) = Re (z_{f} e^{iω t})$ pour tout $t$ , que $z_{λ f + g} = λ z_{f} + z_{g}$ pour $λ \in R$ et $f, g \in S_{ω}$ , et que $z_{f} = A e^{i φ}$ lorsque $f (t) = A cos (ω t + φ)$ . Pourquoi, en revanche, les amplitudes $A$ ne s'additionnent-elles pas ? (Comparer $f$ , $g$ et $f + g$ pour $f (t) = cos ω t$ et $g (t) = cos (ω t + π)$ .)

3) Montrer que la dérivée de tout $f \in S_{ω}$ appartient à $S_{ω}$ , et que $z_{f^{'}} = iω z_{f}$ .

4) Interférences. Montrer que $A_{1} cos (ω t + φ_{1}) + A_{2} cos (ω t + φ_{2}) = A cos (ω t + φ)$ , avec $A^{2} = A_{1}^{2} + A_{2}^{2} + 2 A_{1} A_{2} cos (φ_{1} - φ_{2})$ . Que vaut $cos ω t + cos (ω t + \frac{2 π}{3}) + cos (ω t + \frac{4 π}{3})$ ?

5) Battements. Soient $ω_{1} \neq = ω_{2}$ deux pulsations strictement positives. Montrer que la somme $S_{ω_{1}} + S_{ω_{2}}$ est directe (dériver deux fois), et donner sa dimension. La somme d'une sinusoïde non nulle de pulsation $ω_{1}$ et d'une sinusoïde non nulle de pulsation $ω_{2}$ peut-elle être une sinusoïde de pulsation $ω_{1}$ ? de pulsation $ω_{2}$ ?

Corrigé de la question 1

Ce qu'on a le droit d'utiliser. Le cours sur la dimension (une famille libre et génératrice est une base, et la dimension compte les vecteurs d'une base), la formule d'addition du cosinus, les solutions de $y^{''} + ω^{2} y = 0$ étudiées au chapitre des équations différentielles, et l'exponentielle complexe.

1) Un plan. Inclusion directe. Par la formule d'addition, $A cos (ω t + φ) = (A cos φ) cos ω t - (A sin φ) sin ω t$ : tout élément de $S_{ω}$ est combinaison de $c$ et $s$ . Inclusion réciproque. Soit $f = a c + b s$ . Si $(a, b) = (0, 0)$ , $f = 0 \cdot cos ω t$ appartient à $S_{ω}$ . Sinon, posons $A = a^{2} + b^{2} > 0$ : comme $(\frac{a}{A})^{2} + (\frac{- b}{A})^{2} = 1$ , il existe $φ$ tel que $cos φ = \frac{a}{A}$ et $sin φ = - \frac{b}{A}$ , et alors $A cos (ω t + φ) = a cos ω t + b sin ω t$ . Donc $S_{ω} = Vect (c, s)$ : c'est en particulier un sous-espace.

Liberté. Si $a cos ω t + b sin ω t = 0$ pour tout $t$ , l'évaluation en $t = 0$ donne $a = 0$ , puis en $t = \frac{π}{2 ω}$ , $b = 0$ . Donc $(c, s)$ est une base, et $S_{ω}$ est de dimension $2$ . Enfin, le cours sur les équations différentielles donne les solutions réelles de $y^{''} + ω^{2} y = 0$ : ce sont les fonctions $t \mapsto λ cos ω t + μ sin ω t$ , c'est-à-dire exactement $Vect (c, s) = S_{ω}$ . On retrouve la dimension $2$ de l'espace des solutions d'une équation linéaire homogène d'ordre $2$ à coefficients constants : deux degrés de liberté, deux conditions initiales. (Dans le cas complexe, $(t \mapsto e^{iω t}, t \mapsto e^{- iω t})$ est une autre base du même espace de solutions.)

Question 2 : comment l'IA t'aide

Élève

Pour l'existence, si $f (t) = A cos (ω t + φ)$ , je prends $z_{f} = A e^{i φ}$ . Mais pour l'unicité, j'ai un doute : le couple $(A, φ)$ n'est pas unique, on peut le remplacer par $(- A, φ + π)$ . Comment $z_{f}$ pourrait-il l'être ?

Ton exemple montre que $(A, φ)$ n'est pas unique, pas que $z_{f}$ ne l'est pas : regarde ce que donne $(- A, φ + π)$ . Pour une preuve générale, suppose $Re (z e^{iω t}) = Re (z^{'} e^{iω t})$ pour tout $t$ : quels instants choisir pour en tirer de l'information sur $z - z^{'}$ ?

Élève

Sur mon exemple, $- A e^{i (φ + π)} = A e^{i φ}$ : c'est le même complexe. En $t = 0$ , j'obtiens $Re (z - z^{'}) = 0$ , et en $t = \frac{π}{2 ω}$ , la partie réelle de $i (z - z^{'})$ , qui fait intervenir la partie imaginaire.

Bien. Comment l'unicité te donne-t-elle ensuite la relation $z_{λ f + g} = λ z_{f} + z_{g}$ presque sans calcul, et pourquoi le raisonnement exige-t-il que $λ$ soit réel ?

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