Les signaux de pulsation $\omega$ forment un plan

Ce qu'on a le droit d'utiliser. Le cours sur la dimension (une famille libre et génératrice est une base, et la dimension compte les vecteurs d'une base), la formule d'addition du cosinus, les solutions de $y^{\prime \prime }+{\omega }^{2}y=0$ étudiées au chapitre des équations différentielles, et l'exponentielle complexe.

1) Un plan. Inclusion directe. Par la formule d'addition, $A\cos (\omega t+\phi )=(A\cos \phi )\cos \omega t-(A\sin \phi )\sin \omega t$ : tout élément de $S_{\omega }$ est combinaison de $c$ et $s$. Inclusion réciproque. Soit $f=ac+bs$. Si $(a,b)=(0,0)$, $f=0\cdot \cos \omega t$ appartient à $S_{\omega }$. Sinon, posons $A=\sqrt{a^2+b^2}>0$ : comme ${\left(\frac{a}{A}\right)}^2+{\left(\frac{-b}{A}\right)}^2=1$, il existe $\phi$ tel que $\cos \phi =\frac{a}{A}$ et $\sin \phi =-\frac{b}{A}$, et alors $A\cos (\omega t+\phi )=a\cos \omega t+b\sin \omega t$. Donc $S_{\omega }=\mathrm{Vect}(c,s)$ : c'est en particulier un sous-espace.

Liberté. Si $a\cos \omega t+b\sin \omega t=0$ pour tout $t$, l'évaluation en $t=0$ donne $a=0$, puis en $t=\frac{\pi }{2\omega }$, $b=0$. Donc $(c,s)$ est une base, et $S_{\omega }$ est de dimension $2$. Enfin, le cours sur les équations différentielles donne les solutions réelles de $y^{\prime \prime }+{\omega }^{2}y=0$ : ce sont les fonctions $t\mapsto \lambda \cos \omega t+\mu \sin \omega t$, c'est-à-dire exactement $\mathrm{Vect}(c,s)=S_{\omega }$. On retrouve la dimension $2$ de l'espace des solutions d'une équation linéaire homogène d'ordre $2$ à coefficients constants : deux degrés de liberté, deux conditions initiales. (Dans le cas complexe, $\left(t\mapsto e^{i\omega t},t\mapsto e^{-i\omega t}\right)$ est une autre base du même espace de solutions.)

2) L'amplitude complexe. Existence. Si $f=ac+bs$, posons $z_f=a-ib$ : alors $z_f{e}^{i\omega t}=(a-ib)(\cos \omega t+i\sin \omega t)$ a pour partie réelle $a\cos \omega t+b\sin \omega t=f(t)$. Unicité. Si $\mathrm{Re}(z{e}^{i\omega t})=\mathrm{Re}(z^{\prime }{e}^{i\omega t})$ pour tout $t$, posons $w=z-z^{\prime }$ : $\mathrm{Re}(w{e}^{i\omega t})=0$ pour tout $t$ ; en $t=0$, $\mathrm{Re}w=0$ ; en $t=\frac{\pi }{2\omega }$, $\mathrm{Re}(iw)=-\mathrm{Im}w=0$ ; donc $w=0$.

Linéarité. La partie réelle est $\mathbb{R}$-linéaire : $\mathrm{Re}((\lambda z_f+z_g)e^{i\omega t})=\lambda f(t)+g(t)$, et par unicité $z_{\lambda f+g}=\lambda z_f+z_g$. Ainsi $f\mapsto z_f$ est une application linéaire bijective de $S_{\omega }$ sur $\mathbb{C}$, vu comme plan réel : l'amplitude complexe est un système de coordonnées du plan $S_{\omega }$. Et si $f(t)=A\cos (\omega t+\phi )=\mathrm{Re}\left(A{e}^{i\phi }{e}^{i\omega t}\right)$, l'unicité donne $z_f=A{e}^{i\phi }$.

Les amplitudes ne s'additionnent pas. Avec $f(t)=\cos \omega t$ et $g(t)=\cos (\omega t+\pi )=-\cos \omega t$, toutes deux d'amplitude $1$, la somme est nulle, d'amplitude $0\ne 1+1$. Le couple $(A,\phi )$ paramètre bien $S_{\omega }$, mais ce ne sont pas des coordonnées : ce qui s'additionne, ce sont les amplitudes complexes, $e^{i\cdot 0}+e^{i\pi }=0$.

3) La dérivation. Si $f=ac+bs$, alors $f^{\prime }=b\omega c-a\omega s\in S_{\omega }$, et $z_{f^{\prime }}=b\omega +ia\omega =i\omega (a-ib)=i\omega z_f$. Dériver, c'est multiplier l'amplitude complexe par $i\omega$ : l'équation différentielle devient une équation algébrique, ce que l'exercice 9 exploitera.

4) Interférences. Par linéarité, la somme des deux signaux est dans $S_{\omega }$, d'amplitude complexe $z=A_1{e}^{i{\phi }_1}+A_2{e}^{i{\phi }_2}$ ; en écrivant $z=A{e}^{i\phi }$ avec $A=|z|$, la somme vaut $A\cos (\omega t+\phi )$, et $$A^2=z\overline{z}=A_1^2+A_2^2+A_1{A}_2\left(e^{i({\phi }_1-{\phi }_2)}+e^{-i({\phi }_1-{\phi }_2)}\right)=A_1^2+A_2^2+2A_1{A}_2\cos ({\phi }_1-{\phi }_2).$$ L'amplitude est maximale, $A_1+A_2$, quand les signaux sont en phase, minimale, $|A_1-A_2|$, en opposition de phase. Pour les trois signaux décalés d'un tiers de période, l'amplitude complexe est $1+e^{2i\pi /3}+e^{4i\pi /3}=0$, la somme des racines cubiques de l'unité : la somme est identiquement nulle. C'est la situation des trois courants d'un réseau dit triphasé.

5) Battements. La somme est directe. Si $f\in S_{{\omega }_1}\cap S_{{\omega }_2}$, alors, en dérivant deux fois, $f^{\prime \prime }=-{\omega }_1^{2}f$ et $f^{\prime \prime }=-{\omega }_2^{2}f$, donc $({\omega }_1^2-{\omega }_2^2)f=0$ ; comme ${\omega }_1\ne {\omega }_2$ sont strictement positives, ${\omega }_1^2\ne {\omega }_2^2$, et $f=0$. La dimension. La somme étant directe, une relation entre $c_1,s_1,c_2,s_2$ se sépare en une relation dans $S_{{\omega }_1}$ et une dans $S_{{\omega }_2}$, toutes deux triviales : $(c_1,s_1,c_2,s_2)$ est libre, et génératrice de la somme, qui est donc de dimension $4$.

La réponse. Si $f_1\in S_{{\omega }_1}$ et $f_2\in S_{{\omega }_2}$ sont non nulles et si $f_1+f_2=g\in S_{{\omega }_1}$, alors $f_2=g-f_1\in S_{{\omega }_1}\cap S_{{\omega }_2}=\{0\}$ : contradiction. Même raisonnement pour ${\omega }_2$. La somme de deux sinusoïdes de pulsations différentes n'est jamais une sinusoïde de l'une de ces pulsations : c'est le phénomène des battements, où, pour des pulsations voisines, $\cos {\omega }_{1}t+\cos {\omega }_{2}t=2\cos \frac{({\omega }_1-{\omega }_2)t}{2}\cos \frac{({\omega }_1+{\omega }_2)t}{2}$ ressemble à une sinusoïde dont l'amplitude varierait lentement — sans en être une.

Ce que l'exercice installe. « Dimension $2$ » veut dire deux degrés de liberté, et parmi les paramétrages d'une sinusoïde, seuls ceux qui s'additionnent sont des coordonnées : $(a,b)$ et l'amplitude complexe, pas $(A,\phi )$. C'est le fondement de la méthode des amplitudes complexes en physique : en régime sinusoïdal forcé, dériver revient à multiplier par $i\omega$, et deux signaux de même pulsation s'ajoutent par leurs amplitudes complexes — interférences comprises. Deux pulsations différentes, elles, ne se mélangent pas : c'est une somme directe.