Linéaire ou pas ?

Application directe du cours · niveau 1 (application) · mathématiques (PCSI), chapitre 10 — Espaces vectoriels et applications linéaires · D. Applications linéaires, noyaux et images

Énoncé

Les applications suivantes sont-elles linéaires ?

$u (x, y) = (x + y, x - y), v (x, y) = (x + 1, y), φ (P) = P^{'} + P (0), w (x, y) = x y .$

Corrigé

$u$ : oui — chaque composante est une combinaison linéaire des coordonnées ; $u (λ (x, y) + (x^{'}, y^{'})) = λ u (x, y) + u (x^{'}, y^{'})$ se vérifie mécaniquement.

$v$ : non — $v (0, 0) = (1, 0) \neq = (0, 0)$ : une application linéaire envoie toujours $0$ sur $0$ . ( $v$ décale d'un vecteur constant : ce n'est pas linéaire.)

$φ$ : oui — $P \mapsto P^{'}$ et $P \mapsto P (0)$ (vu comme polynôme constant) sont linéaires, et une somme d'applications linéaires l'est.

$w$ : non — $w (2 (1, 1)) = 4 \neq = 2 = 2 w (1, 1)$ : le produit est bilinéaire, pas linéaire.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.