Noyau, image, théorème du rang

Noyau : $u(x,y,z)=0$ équivaut au système $x+y+z=0$, $x=z$ ; en paramétrant par $z$ : $x=z$, $y=-2z$, donc

$$\mathrm{Ker}u=\mathrm{Vect}((1,-2,1)):\text{ une droite, }\dim \mathrm{Ker}u=1.$$

Rang : par le théorème du rang, $\mathrm{rg}(u)=\dim {\mathbb{R}}^3-\dim \mathrm{Ker}u=3-1=2$.

Image : $\mathrm{Im}u$ est un sous-espace de dimension $2$ de ${\mathbb{R}}^2$, donc $\mathrm{Im}u={\mathbb{R}}^2$ : $u$ est surjective (mais pas injective). Le théorème du rang a fait tout le travail dimensionnel.