Réunion de sous-espaces, et le vecteur générique

Soit $E$ un $K$ -espace vectoriel, avec $K = R$ ou $C$ .

1) Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels de $E$ . Montrer que $F \cup G$ est un sous-espace vectoriel si et seulement si $F \subset G$ ou $G \subset F$ . (Si aucune inclusion n'a lieu, prendre $f \in F ∖ G$ , $g \in G ∖ F$ et examiner $f + g$ .)

2) En déduire que $E$ n'est pas la réunion de deux sous-espaces stricts.

3) Soient $F_{1}, \dots, F_{m}$ des sous-espaces stricts de $E$ (c'est-à-dire différents de $E$ ). On veut montrer que $E \neq = F_{1} \cup \dots \cup F_{m}$ ; on raisonne par l'absurde, en choisissant $m$ minimal.

(a) Montrer que $m \geq 2$ , qu'il existe $x \in F_{1}$ n'appartenant à aucun des $F_{i}$ pour $i \geq 2$ , et qu'il existe $y \in / F_{1}$ .
(b) Pour $t \in K$ , on pose $z_{t} = y + t x$ . Montrer que $z_{t} \in / F_{1}$ pour tout $t$ , et que, pour chaque $i \geq 2$ , il existe au plus une valeur de $t$ telle que $z_{t} \in F_{i}$ .
(c) Conclure. Où a-t-on utilisé que $K$ est infini ?

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La caractérisation d'un sous-espace : il contient $0$ et il est stable par combinaison linéaire ; en particulier, si $F$ est un sous-espace et si $a \in F$ , alors $b \in F$ équivaut à $b - a \in F$ .

1) La réunion de deux sous-espaces. Le sens facile. Si $F \subset G$ , alors $F \cup G = G$ , qui est un sous-espace ; de même si $G \subset F$ .

Le sens difficile, par contraposée. Supposons qu'aucune inclusion n'ait lieu : il existe $f \in F ∖ G$ et $g \in G ∖ F$ . Examinons $x = f + g$ . Si $x$ appartenait à $F$ , alors $g = x - f$ appartiendrait à $F$ , puisque $F$ est stable par différence — contradiction avec $g \in / F$ . Si $x$ appartenait à $G$ , alors de même $f = x - g \in G$ — contradiction. Donc $f + g \in / F \cup G$ , alors que $f$ et $g$ y sont : la réunion n'est pas stable par addition, ce n'est pas un sous-espace.

Le point délicat. Deux des trois conditions sont gratuites : $F \cup G$ contient toujours $0$ , et elle est toujours stable par multiplication par un scalaire, puisque chacun de ses éléments est dans $F$ ou dans $G$ . C'est donc du côté d'une somme qu'il faut chercher le contre-exemple, et le construire avec un vecteur hors de chacun des deux.

2) Deux sous-espaces stricts ne suffisent pas. Si $E = F \cup G$ , alors $F \cup G$ est un sous-espace (c'est $E$ ), donc par le 1) $F \subset G$ , auquel cas $E = G$ , ou $G \subset F$ , auquel cas $E = F$ . Dans les deux cas l'un des deux n'est pas strict.

3) Un nombre fini de sous-espaces stricts ne suffit pas. Supposons par l'absurde qu'une famille finie de sous-espaces stricts recouvre $E$ , et choisissons-en une, $F_{1}, \dots, F_{m}$ , avec $m$ le plus petit possible.

(a) On a $m \geq 2$ , puisqu'un seul sous-espace strict ne peut pas être égal à $E$ (et même $m \geq 3$ par le 2), mais on n'en a pas besoin). Par minimalité de $m$ , les $m - 1$ sous-espaces $F_{2}, \dots, F_{m}$ ne recouvrent pas $E$ : il existe $x$ qui n'appartient à aucun d'eux ; comme $x$ appartient à la réunion de tous, $x \in F_{1}$ . Enfin $F_{1} \neq = E$ fournit un $y \in / F_{1}$ .

(b) La droite $z_{t} = y + t x$ . Elle évite $F_{1}$ : si $z_{t} \in F_{1}$ , alors $y = z_{t} - t x \in F_{1}$ , puisque $x \in F_{1}$ — contradiction. Elle rencontre chaque $F_{i}$ , $i \geq 2$ , en au plus un point : si $z_{t}$ et $z_{s}$ appartiennent à $F_{i}$ avec $t \neq = s$ , alors leur différence $z_{t} - z_{s} = (t - s) x$ appartient à $F_{i}$ , et en divisant par $t - s \neq = 0$ , $x \in F_{i}$ — contradiction avec le choix de $x$ .

(c) La conclusion. Chacun des $m - 1$ sous-espaces $F_{2}, \dots, F_{m}$ contient au plus un point $z_{t}$ , et $F_{1}$ n'en contient aucun : au plus $m - 1$ valeurs de $t$ donnent un $z_{t}$ dans la réunion. Or $K$ est infini : il existe une valeur de $t$ pour laquelle $z_{t}$ n'appartient à aucun des $F_{i}$ , donc pas à leur réunion, qui est $E$ . C'est absurde. Aucune réunion finie de sous-espaces stricts n'est égale à $E$ . Le caractère infini de $K$ sert à ce seul endroit : il faut disposer de plus de $m - 1$ valeurs de $t$ .

Ce que l'exercice installe. La réunion n'est pas une opération de l'algèbre linéaire ; celle qui joue ce rôle est la somme $F + G$ , le plus petit sous-espace contenant $F \cup G$ . Et l'argument de la droite $y + t x$ — une droite rencontre en au plus un point tout sous-espace qui ne contient pas sa direction — est celui du vecteur générique : on peut toujours trouver un vecteur qui échappe à un nombre fini de sous-espaces stricts, par exemple à un nombre fini d'hyperplans. C'est le même principe qu'« un polynôme non nul n'a qu'un nombre fini de racines ».

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