Supplémentaires et décomposition

Application directe du cours · niveau 2 · mathématiques (PCSI), chapitre 10 — Espaces vectoriels et applications linéaires · A. Espaces et sous-espaces vectoriels

Énoncé

Dans $R^{3}$ , soient $F = {(x, y, z) : x + y + z = 0}$ et $G = Vect ((1, 1, 1))$ . Montrer que $R^{3} = F \oplus G$ et décomposer $v = (1, 2, 3)$ .

Corrigé

Intersection : si $t (1, 1, 1) \in F$ , alors $3 t = 0$ , donc $t = 0$ : $F \cap G = {0}$ . Dimensions : $dim F = 2$ (hyperplan de $R^{3}$ ) et $dim G = 1$ , et $2 + 1 = 3 = dim R^{3}$ : par la caractérisation dimensionnelle, $R^{3} = F \oplus G$ .

Décomposition : cherchons $v = f + t (1, 1, 1)$ avec $f \in F$ . La somme des coordonnées de $f = v - t (1, 1, 1)$ doit être nulle : $(1 + 2 + 3) - 3 t = 0$ , donc $t = 2$ et

$(1, 2, 3) = \in F (- 1, 0, 1) + \in G (2, 2, 2) .$

(Le projecteur sur $G$ parallèlement à $F$ est $v \mapsto \frac{x + y + z}{3} (1, 1, 1)$ : la moyenne des coordonnées.)

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.