Tous les polynômes valant 1 en 0 et 2 en 1

Stratégie : reconnaître une équation linéaire, puis appliquer le théorème « solution particulière plus noyau ». Rien à résoudre, rien à calculer : il faut identifier la structure, et le théorème du cours livre l'ensemble des solutions.

L'application linéaire. Posons $$\Phi :\mathbb{R}[X]⟶{\mathbb{R}}^2,Q⟼(Q(0),Q(1)).$$ Chaque évaluation étant linéaire, $\Phi$ l'est. Et par définition, $$\mathcal{E}=\{Q:\Phi (Q)=(1,2)\}$$ est l'ensemble des solutions de l'équation linéaire $\Phi (Q)=(1,2)$.

Une solution particulière. Cherchons-la de degré $1$, sous la forme $Q_0=aX+b$. Les conditions donnent $b=1$ et $a+b=2$, soit $a=1$ : $$Q_0=X+1.$$ Contrôle : $Q_0(0)=1$ et $Q_0(1)=2$. ✓ L'équation est donc compatible, ce qui n'allait pas de soi et qu'il fallait établir.

Le noyau. Un polynôme $P$ est dans $\mathrm{Ker}\Phi$ si et seulement si $P(0)=P(1)=0$, c'est-à-dire si $0$ et $1$ sont racines de $P$. Ces deux racines étant distinctes, le chapitre 8 donne que $P$ est divisible par leur produit : $$P=X(X-1)R\text{pour un certain }R\in \mathbb{R}[X].$$ Réciproquement, tout polynôme de cette forme s'annule en $0$ et en $1$. Donc $$\mathrm{Ker}\Phi =\{X(X-1)R:R\in \mathbb{R}[X]\}.$$

La conclusion. Le théorème de structure des équations linéaires s'applique : $$\boxed{\mathcal{E}=Q_0+\mathrm{Ker}\Phi =\{X+1+X(X-1)R:R\in \mathbb{R}[X]\}.}$$

⚠️ Premier point délicat : $\mathcal{E}$ n'est PAS un sous-espace vectoriel. Le polynôme nul n'y est pas, puisqu'il ne vaut pas $1$ en $0$. C'est un sous-espace translaté — un espace affine — et c'est exactement ce que dit la formule « solution particulière plus noyau » : un point de départ, plus toutes les directions du noyau.

⚠️ Second point délicat : la divisibilité par $X(X-1)$ exige que les racines soient distinctes. Deux racines distinctes donnent la divisibilité par le produit des deux facteurs. Si l'on avait imposé $P(0)=0$ et $P^{\prime }(0)=0$, il aurait fallu conclure à une racine double en $0$, donc à la divisibilité par $X^2$ — un énoncé différent, avec une justification différente.

Contrôle. Prenons $R=3X^2-X+7$ et formons $Q=X+1+X(X-1)R$. En $0$ et en $1$, le facteur $X(X-1)$ s'annule, donc $Q(0)=Q_0(0)=1$ et $Q(1)=Q_0(1)=2$. La vérification par le calcul développé confirme ces deux valeurs. ✓

Ce que l'exercice installe. C'est exactement le même schéma que pour l'équation différentielle, le système linéaire et la suite arithmético-géométrique : une solution particulière, plus le noyau de l'application linéaire en jeu. Une différence notable ici : le noyau est de dimension infinie, ce qui ne gêne en rien — le théorème de structure ne suppose à aucun moment la dimension finie.