Un projecteur explicite

Application directe du cours · niveau 2 · mathématiques (PCSI), chapitre 10 — Espaces vectoriels et applications linéaires · E. Projecteurs et symétries

Énoncé

Soit $p : R^{2} \to R^{2}$ défini par $p (x, y) = (\frac{x + y}{2}, \frac{x + y}{2})$ . Vérifier que $p$ est un projecteur et déterminer ses éléments géométriques (image, noyau).

Corrigé

$p$ est linéaire, et $p^{2} (x, y) = p (\frac{x + y}{2}, \frac{x + y}{2}) = (\frac{x + y}{2}, \frac{x + y}{2}) = p (x, y)$ : c'est un projecteur.

$Im p = Vect ((1, 1))$ (la diagonale) ; $Ker p = {(x, y) : x + y = 0} = Vect ((1, - 1))$ (l'antidiagonale). $p$ est donc la projection sur la diagonale parallèlement à l'antidiagonale — géométriquement : on moyenne les coordonnées. Et l'on vérifie $R^{2} = Im p \oplus Ker p$ . La symétrie associée $s = 2 p - id$ est $s (x, y) = (y, x)$ : l'échange des coordonnées, miroir par rapport à la diagonale !

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.