Un projecteur explicite

$p$ est linéaire, et $p^2(x,y)=p\left(\frac{x+y}{2},\frac{x+y}{2}\right)=\left(\frac{x+y}{2},\frac{x+y}{2}\right)=p(x,y)$ : c'est un projecteur.

$\mathrm{Im}p=\mathrm{Vect}((1,1))$ (la diagonale) ; $\mathrm{Ker}p=\{(x,y):x+y=0\}=\mathrm{Vect}((1,-1))$ (l'antidiagonale). $p$ est donc la projection sur la diagonale parallèlement à l'antidiagonale — géométriquement : on moyenne les coordonnées. Et l'on vérifie ${\mathbb{R}}^2=\mathrm{Im}p\oplus \mathrm{Ker}p$. La symétrie associée $s=2p-\mathrm{id}$ est $s(x,y)=(y,x)$ : l'échange des coordonnées, miroir par rapport à la diagonale !