Comités sous contrainte

Par le complémentaire : sur les $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{12}{4}\right)=495$ comités possibles, on retire ceux qui ont $0$ femme ($\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{4}\right)=5$) ou $1$ femme ($\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{1}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3}\right)=7\times 10=70$) :

$$495-5-70=420.$$

Contrôle par addition directe (cas incompatibles selon le nombre de femmes) :

$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{2}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{3}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{1}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{4}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{0}\right)=21\times 10+35\times 5+35=210+175+35=420.✓$$

(Deux stratégies royales du dénombrement : passer au complémentaire quand la contrainte est « au moins », découper en cas incompatibles sinon.)