La formule de Vandermonde

Exercice de TD · niveau 2 · mathématiques (PCSI), chapitre 14 — Dénombrement · C. Combinaisons et identités

Énoncé

Soient $m, n, p$ des entiers naturels.

a) Démontrer combinatoirement que $(p m + n) = k = 0 \sum p (k m) (p - k n)$ , avec la convention $(b a) = 0$ si $b > a$ .

b) En déduire $k = 0 \sum n (k n)^{2} = (n 2 n)$ .

c) En déduire $k = 0 \sum n (k n) (k + 1 n) = (n + 1 2 n)$ .

Corrigé

La stratégie. Une somme de produits de coefficients binomiaux est le signe d'un dénombrement à deux paramètres, trié par cas selon l'un d'eux. On fabrique l'ensemble, on le compte globalement, puis par tranches. Le chapitre 2 obtient la même formule en identifiant un coefficient dans $(1 + x)^{m} (1 + x)^{n} = (1 + x)^{m + n}$ : le tri joue ici le rôle du produit de polynômes.

a) Les délégations. Une assemblée compte $m$ femmes et $n$ hommes ; comptons les délégations de $p$ personnes. Directement : ce sont les parties à $p$ éléments d'un ensemble à $m + n$ éléments, au nombre de $(p m + n)$ . En triant selon le nombre $k$ de femmes : pour $k$ fixé, on choisit les $k$ femmes parmi $m$ , puis les $p - k$ hommes parmi $n$ , soit $(k m) (p - k n)$ délégations. Les classes « exactement $k$ femmes », pour $k$ de $0$ à $p$ , sont disjointes — une délégation a un nombre de femmes et un seul — et recouvrent tout : le principe d'addition donne la formule. La convention $(b a) = 0$ pour $b > a$ la rend vraie sans restriction : il n'y a aucune délégation à $k$ femmes si $k > m$ .

b) Le coefficient binomial central. Avec $m = n = p$ : $(n 2 n) = \sum_{k = 0}^{n} (k n) (n - k n)$ , et la symétrie $(n - k n) = (k n)$ — choisir les présents ou les absents — transforme chaque produit en carré. Contrôles : $1 + 9 + 9 + 1 = 20 = (3 6)$ pour $n = 3$ ; $1 + 16 + 36 + 16 + 1 = 70 = (4 8)$ pour $n = 4$ .

c) Le décalage. Avec $m = n$ et $p = n + 1$ : $(n + 1 2 n) = \sum_{j = 0}^{n + 1} (j n) (n + 1 - j n)$ . Le terme $j = 0$ est nul, car $(n + 1 n) = 0$ . Pour $j \geq 1$ , la symétrie donne $(n + 1 - j n) = (j - 1 n)$ ; en posant $k = j - 1$ , qui va de $0$ à $n$ : $(n + 1 2 n) = k = 0 \sum n (k + 1 n) (k n) .$ Contrôle pour $n = 3$ : $3 + 9 + 3 + 0 = 15 = (4 6)$ . Le point délicat est ce terme de bord $j = 0$ , que la convention fait disparaître ; sans elle, on devrait discuter à part les cas extrêmes.

Ce que l'exercice installe. Trier par cas selon un paramètre : une somme de produits de deux coefficients binomiaux se lit toujours « $k$ d'un côté, $p - k$ de l'autre ». Au chapitre 15, c'est le calcul qui montre que la somme de deux variables indépendantes de lois binomiales $B (m, q)$ et $B (n, q)$ suit la loi $B (m + n, q)$ : la probabilité que la somme vaille $s$ est $q^{s} (1 - q)^{m + n - s} \sum_{k} (k m) (s - k n)$ , et Vandermonde fait le reste.

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