mathématiques (PCSI) · Chapitre 14 · Application directe du cours

Parties de cardinal pair

Dénombrement · C. Combinaisons et identités · niveau 2

Énoncé

Soit $E$ de cardinal $n \geq 1$ . Montrer que le nombre de parties de $E$ de cardinal pair vaut $2^{n - 1}$ — autant que de parties de cardinal impair.

Corrigé

Notons $P$ et $I$ les nombres de parties de cardinal pair et impair. En triant les $2^{n}$ parties par cardinal :

$P + I = k \sum (k n) = 2^{n}, P - I = k \sum (- 1)^{k} (k n) = (1 - 1)^{n} = 0$

(formule du binôme avec $a = - 1$ , $b = 1$ ; ici $n \geq 1$ ). D'où $P = I = 2^{n - 1}$ .

Exercices semblables

La formule de la crosse de hockey corrigé
Parties dont le cardinal est un multiple de trois corrigé
Combinaisons corrigé
Comités sous contrainte corrigé
Les diagonales d'un polygone corrigé

Le cours du chapitre · Tous les exercices du chapitre