Décomposition en éléments simples

Polynômes · F. Décomposition en éléments simples · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Décomposer sur $R$ la fraction $F = \frac{X ^{2} + 1}{X ( X - 1 ) ^{2}}$ sous la forme, fournie,

$F = \frac{a}{X} + \frac{b}{X - 1} + \frac{c}{( X - 1 ) ^{2}},$

et en déduire une primitive de la fonction associée sur $] 1, + \infty [$ .

Pôle simple $0$ : $a = [X F]_{X = 0} = \frac{0 + 1}{( 0 - 1 ) ^{2}} = 1$ .
Coefficient extrême du pôle double : $c = [(X - 1)^{2} F]_{X = 1} = \frac{1 + 1}{1} = 2$ .
Limite : en multipliant par $X$ et en faisant $x \to + \infty$ : $1 = a + b$ , d'où $b = 0$ .

$\frac{X ^{2} + 1}{X ( X - 1 ) ^{2}} = \frac{1}{X} + \frac{2}{( X - 1 ) ^{2}} .$

(Vérification en $X = 2$ : à gauche $\frac{5}{2}$ , à droite $\frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}$ . ✔) Primitive sur $] 1, + \infty [$ :

$\int^{x} F = ln x - \frac{2}{x - 1} + C .$