Des sommes qui se télescopent

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La décomposition à pôles simples et le calcul de ses coefficients ; la forme fournie pour les facteurs irréductibles de degré $2$ ; l'identification des coefficients ; le télescopage (chapitre 2) ; les limites de suites. La stratégie : décomposer, puis voir le décalage — réécrire le terme général comme une différence $g(k)-g(k+1)$.

a) Trois pôles simples. Les pôles $0$, $-1$, $-2$ sont simples ; chaque coefficient s'obtient en multipliant par le facteur correspondant et en évaluant au pôle : $\frac{1}{(0+1)(0+2)}=\frac{1}{2}$, $\frac{1}{(-1)(-1+2)}=-1$ et $\frac{1}{(-2)(-2+1)}=\frac{1}{2}$. Donc $$\frac{1}{X(X+1)(X+2)}=\frac{1}{2X}-\frac{1}{X+1}+\frac{1}{2(X+2)}.$$ Le décalage : les trois termes sont décalés de $0$, $1$ et $2$, et le télescopage ne se voit pas. En coupant le terme central en deux moitiés, on obtient la forme proposée, et avec $h(k)=\frac{1}{2}(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1})=\frac{1}{2k(k+1)}$, le terme général vaut $h(k)-h(k+1)$. Donc $$\sum _{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)(k+2)}=h(1)-h(n+1)=\frac{1}{4}-\frac{1}{2(n+1)(n+2)}\underset{n\to +\infty }{\to }\frac{1}{4}.$$ Contrôle : pour $n=1$, $\frac{1}{6}=\frac{1}{4}-\frac{1}{12}$ ; pour $n=2$, $\frac{1}{6}+\frac{1}{24}=\frac{5}{24}=\frac{1}{4}-\frac{1}{24}$.

b) Deux trinômes décalés. La factorisation : $X^4+X^2+1=(X^2+1{)}^2-X^2=(X^2+1-X)(X^2+1+X)$, les deux trinômes, de discriminant $-3<0$, étant irréductibles dans $\mathbb{R}[X]$. Identification : il faut $X=(\alpha X+\beta )(X^2+X+1)+(\gamma X+\delta )(X^2-X+1)$, et en développant, $$\{\begin{array}{ll}\alpha +\gamma =0& \text{(coefficient de }{X}^3)\\ \alpha +\beta -\gamma +\delta =0& \text{(coefficient de }{X}^2)\\ \alpha +\beta +\gamma -\delta =1& \text{(coefficient de }X)\\ \beta +\delta =0& \text{(coefficient constant)}\end{array}$$ La deuxième et la dernière donnent $\alpha -\gamma =0$, qui avec la première donne $\alpha =\gamma =0$ ; la troisième devient $\beta -\delta =1$, d'où $\beta =\frac{1}{2}$ et $\delta =-\frac{1}{2}$. Ainsi $$\frac{X}{X^4+X^2+1}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{X^2-X+1}-\frac{1}{X^2+X+1}\right).$$ Le décalage : avec $g(k)=\frac{1}{k^2-k+1}$, on a $g(k+1)=\frac{1}{k^2+k+1}$ — le second trinôme est le premier, décalé d'un cran —, donc le terme général vaut $\frac{1}{2}(g(k)-g(k+1))$, et $$\sum _{k=1}^n\frac{k}{k^4+k^2+1}=\frac{1}{2}(g(1)-g(n+1))=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{n^2+n+1}\right)\underset{n\to +\infty }{\to }\frac{1}{2}.$$ Contrôle : pour $n=2$, $\frac{1}{3}+\frac{2}{21}=\frac{3}{7}$, et $\frac{1}{2}(1-\frac{1}{7})=\frac{3}{7}$.

Le point délicat. Décomposer ne suffit pas : il faut voir le décalage. Au a), le terme central doit être coupé en deux ; au b), c'est l'identité $(k+1{)}^2-(k+1)+1=k^2+k+1$ qui fait du second trinôme le translaté du premier. Sans elle, on a deux sommes qui ne se simplifient pas.

Ce que l'exercice installe. Décomposer en éléments simples, c'est préparer un télescopage, à condition de reconnaître la forme $g(k)-g(k+1)$. Les limites $\frac{1}{4}$ et $\frac{1}{2}$ sont les sommes de deux séries calculées exactement : le chapitre 17 les appellera télescopiques, les rares dont on sait trouver la somme.