Deux conditions pour une racine double

Stratégie : traduire la divisibilité en conditions sur les dérivées.

1) La traduction. Dire que $(X-1{)}^2$ divise $P$, c'est dire que $1$ est racine de $P$ de multiplicité au moins $2$. La caractérisation différentielle de la multiplicité donne alors le système, exactement équivalent :

$$P(1)=0\text{et}{P}^{\prime }(1)=0.$$

2) Le système. On a $P(1)=a+b+1$ et $P^{\prime }=4a{X}^3+3b{X}^2$, donc $P^{\prime }(1)=4a+3b$. D'où

$$\{\begin{array}{l}a+b=-1\\ 4a+3b=0\end{array}$$

De la première, $b=-1-a$ ; en reportant : $4a-3-3a=0$, soit $a=3$, puis $b=-4$.

$$\boxed{a=3,b=-4,P=3X^4-4X^3+1.}$$

3) Synthèse : on effectue la division.

$$3X^4-4X^3+1=(X-1{)}^2\left(3X^2+2X+1\right).$$

Vérification par développement : $\left(X^2-2X+1\right)\left(3X^2+2X+1\right)=3X^4+2X^3+X^2-6X^3-4X^2-2X+3X^2+2X+1=3X^4-4X^3+1$. ✔

⚠️ « Divisible par $(X-1{)}^2$ » ne dit pas « racine double ». Il dit « multiplicité au moins $2$ ». Ici la multiplicité est exactement $2$, car $P^{\prime \prime }=36X^2-24X$ donne $P^{\prime \prime }(1)=12\ne 0$ — mais c'est un fait supplémentaire, qu'il fallait vérifier et non supposer.

Un bonus visible. Le facteur restant $3X^2+2X+1$ a pour discriminant $4-12=-8<0$ : il n'a aucune racine réelle. La seule racine réelle de $P$ est donc $1$, et elle est double — le graphe de $x\mapsto 3x^4-4x^3+1$ touche l'axe des abscisses en $1$ sans le traverser, ce qui est la signature géométrique d'une racine de multiplicité paire.

Contrôle numérique. $P(1)=3-4+1=0$ ✔ ; $P(2)=48-32+1=17$ et $(2-1{)}^2\left(12+4+1\right)=17$ ✔ ; $P(-1)=3+4+1=8$ et $(-2{)}^2(3-2+1)=4\times 2=8$ ✔.

Ce que l'exercice installe. Imposer $(X-a{)}^m\mid P$, c'est écrire $m$ équations linéaires en les coefficients de $P$ : $P(a)=P^{\prime }(a)=\cdots =P^{(m-1)}(a)=0$. C'est le mécanisme des raccordements tangents, et il resservira dès que l'on voudra fabriquer un polynôme qui épouse une courbe.