Division euclidienne

Polynômes · B. Division euclidienne et racines · niveau 1 (application)

Énoncé

Effectuer la division euclidienne de $A = X^{4} + X^{3} - 2 X + 1$ par $B = X^{2} + X + 1$ .

On retranche successivement les multiples de $B$ alignés sur le terme dominant :

$A - X^{2} B = X^{4} + X^{3} - 2 X + 1 - (X^{4} + X^{3} + X^{2}) = - X^{2} - 2 X + 1,$

$- X^{2} - 2 X + 1 - (- 1) B = - X^{2} - 2 X + 1 + X^{2} + X + 1 = - X + 2.$

D'où $Q = X^{2} - 1$ et $R = - X + 2$ :

$X^{4} + X^{3} - 2 X + 1 = (X^{2} + X + 1) (X^{2} - 1) + (- X + 2), de g R = 1 < 2. ✓$