Évaluer plutôt que chercher les racines

Ce qu'on a le droit d'utiliser. Le théorème de d'Alembert-Gauss, la dérivée d'un produit, la factorisation de $X^n-1$ dans $\mathbb{C}[X]$, et le fait que le produit de deux polynômes non nuls est non nul. La stratégie : ne pas calculer les racines — elles existent, on n'en aura jamais besoin — mais évaluer le polynôme et sa dérivée.

a) Deux formules. Évaluer $P=\prod (X-x_i)$ en $a$ donne $P(a)=\prod (a-x_i)$. La dérivée d'un produit de $n$ facteurs est la somme des $n$ produits où un seul facteur est dérivé : c'est $(UV{)}^{\prime }=U^{\prime }V+U{V}^{\prime }$ pour deux facteurs, et une récurrence sur le nombre de facteurs, en écrivant $U_1\cdots U_n=(U_1\cdots U_{n-1})U_n$. Chaque $X-x_i$ ayant pour dérivée $1$, $$P^{\prime }=\sum _{i=1}^n\prod _{j\ne i}(X-x_j).$$ En $a$, avec $P(a)\ne 0$ — donc aucun $a-x_j$ nul —, on divise terme à terme : $$\frac{P^{\prime }(a)}{P(a)}=\sum _{i=1}^n\frac{{\prod }_{j\ne i}(a-x_j)}{{\prod }_j(a-x_j)}=\sum _{i=1}^n\frac{1}{a-x_i}.$$ Une somme sur toutes les racines se lit sur $P$ et $P^{\prime }$, les racines multiples étant comptées autant de fois que leur multiplicité.

b) Le cas $X^3-X-1$. Unitaire et non constant, il est scindé sur $\mathbb{C}$ par d'Alembert-Gauss. Par le a) : $\prod (1-x_i)=P(1)=1-1-1=-1$. Ensuite $\prod (-1-x_i)=P(-1)=-1+1-1=-1$ ; or $-1-x_i=-(1+x_i)$, et il y a trois facteurs, donc $\prod (-1-x_i)=(-1{)}^3\prod (1+x_i)$, d'où $\prod (1+x_i)=1$. Enfin $P^{\prime }=3X^2-1$, $P^{\prime }(1)=2$, et $\sum \frac{1}{1-x_i}=\frac{P^{\prime }(1)}{P(1)}=-2$. Contrôle numérique : les racines valent environ $1,3247$ et $-0,6624\pm 0,5623i$, et le calcul direct redonne $-1$, $1$ et $-2$.

c) Les racines de l'unité. $X^n-1={\prod }_{k=0}^{n-1}(X-{\omega }^k)$ (cours) et $X^n-1=(X-1)(1+X+\cdots +X^{n-1})$. Donc $(X-1)(1+X+\cdots +X^{n-1}-{\prod }_{k=1}^{n-1}(X-{\omega }^k))=0$, et comme $X-1\ne 0$ et qu'un produit de polynômes non nuls est non nul, $Q=1+X+\cdots +X^{n-1}={\prod }_{k=1}^{n-1}(X-{\omega }^k)$. Par le a) en $1$ : ${\prod }_{k=1}^{n-1}(1-{\omega }^k)=Q(1)=n$. Et $Q^{\prime }(1)=1+2+\cdots +(n-1)=\frac{n(n-1)}{2}$, d'où $$\sum _{k=1}^{n-1}\frac{1}{1-{\omega }^k}=\frac{Q^{\prime }(1)}{Q(1)}=\frac{n-1}{2}.$$ Contrôle pour $n=4$, $\omega =i$ : $\frac{1}{1-i}+\frac{1}{2}+\frac{1}{1+i}=\frac{1+i}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1-i}{2}=\frac{3}{2}$. La somme est réelle alors que chaque terme est complexe : les termes s'apparient en conjugués, ${\omega }^{n-k}=\overline{{\omega }^k}$.

Le point délicat. Le signe au b) : évaluer en $-1$ donne l'opposé du produit des $1+x_i$, parce que le degré $3$ est impair ; en général, $\prod (x_i-a)=(-1{)}^{n}P(a)$. C'est exactement là qu'on se trompe.

Ce que l'exercice installe. Évaluer un polynôme scindé, c'est calculer un produit sur toutes ses racines ; évaluer $\frac{P^{\prime }}{P}$, c'est calculer une somme d'inverses — deux outils qui ne demandent jamais de résoudre l'équation, et qui restent dans le programme sans aucune fonction symétrique au-delà de la somme et du produit. La dérivée logarithmique $\frac{P^{\prime }}{P}=\sum \frac{1}{X-x_i}$ reviendra à l'exercice 8 ; en physique, c'est le calcul des variations relatives : au premier ordre, la variation relative d'un produit est la somme des variations relatives des facteurs.