L'identité de Sophie Germain

Stratégie : compléter un carré, pour faire apparaître une différence de deux carrés.

1) La factorisation. Le polynôme $X^4+4$ n'a aucune racine réelle — il vaut au moins $4$ partout. On ne peut donc pas partir des racines : on part de l'écriture. On ajoute puis on retranche le terme qui manque pour reconnaître le carré de $X^2+2$ :

$$X^4+4=\left(X^4+4X^2+4\right)-4X^2={\left(X^2+2\right)}^2-(2X{)}^2.$$

C'est une différence de deux carrés, donc

$$\boxed{X^4+4=\left(X^2-2X+2\right)\left(X^2+2X+2\right).}$$

Les deux trinômes ont pour discriminant $4-8=-4<0$ : ils sont irréductibles dans $\mathbb{R}[X]$, et la factorisation réelle est achevée.

Vérification par développement : ${\left(X^2+2\right)}^2-4X^2=X^4+4X^2+4-4X^2=X^4+4$. ✔

2) Le passage aux entiers. Une identité entre polynômes reste vraie quand on y substitue un entier. Pour $n\in \mathbb{N}$ :

$$n^4+4=\left(n^2-2n+2\right)\left(n^2+2n+2\right)=((n-1{)}^2+1\left)\right((n+1{)}^2+1).$$

Cette dernière écriture, obtenue en complétant les carrés, rend les deux facteurs manifestement positifs et permet de les minorer. Pour $n\ge 2$ :

• $(n-1{)}^2+1\ge 1+1=2$ ;
• $(n+1{)}^2+1\ge 9+1=10$.

$n^4+4$ est donc le produit de deux entiers tous deux supérieurs ou égaux à $2$ : il admet un diviseur strictement compris entre $1$ et lui-même, donc il n'est pas premier.

⚠️ L'hypothèse $n\ge 2$ sert exactement à un endroit : le seuil. Pour $n=1$, le premier facteur vaut $(1-1{)}^2+1=1$ : la factorisation devient triviale, elle ne fournit aucun diviseur propre — et de fait $1^4+4=5$ est premier. Une factorisation ne prouve la non-primalité que si ses deux facteurs sont strictement plus grands que $1$.

Contrôle numérique.

$n$	$n^4+4$	$(n-1{)}^2+1$	$(n+1{)}^2+1$
2	20	2	10
3	85	5	17
4	260	10	26
5	629	17	37

Chaque ligne se relit à voix haute : vingt égale deux fois dix, quatre-vingt-cinq égale cinq fois dix-sept, deux cent soixante égale dix fois vingt-six, six cent vingt-neuf égale dix-sept fois trente-sept. ✔

Ce que l'exercice installe. Une identité algébrique se transporte aux entiers par simple substitution : c'est le pont entre la factorisation des polynômes et l'arithmétique. Retenir aussi la technique — ajouter et retrancher le terme qui manque — qui donne au passage $X^4+X^2+1={\left(X^2+1\right)}^2-X^2$, et plus généralement $X^4+4a^4=\left(X^2-2aX+2a^2\right)\left(X^2+2aX+2a^2\right)$.