Le coefficient d'un pôle simple, et le retour de $\mathbb{C}$ à $\mathbb{R}$

Ce qu'on a le droit d'utiliser. Le théorème du cours sur la décomposition en éléments simples à pôles simples, sur $\mathbb{C}$ comme sur $\mathbb{R}$ (existence et unicité, admises) ; le corollaire « deux polynômes qui coïncident en une infinité de points sont égaux » ; la dérivée d'un produit ; la factorisation de $X^n-1$ ; les primitives de $x\mapsto \frac{1}{a{x}^2+bx+c}$ (chapitre 4). La stratégie : se ramener à une identité entre polynômes, et l'évaluer au pôle.

a) Le coefficient d'un pôle simple. Le cours donne des scalaires uniques $c_1,\dots ,c_n$ tels que $\frac{Q}{P}={\sum }_j\frac{c_j}{X-a_j}$. Notons $P_j$ le polynôme tel que $P=(X-a_j)P_j$. En multipliant par $P$, on obtient $Q(x)={\sum }_j{c}_j{P}_j(x)$ pour tout $x$ qui n'est pas un pôle — une infinité de points —, donc $Q={\sum }_j{c}_j{P}_j$ dans $\mathbb{K}[X]$. Évaluons en $a_i$ : pour $j\ne i$, $P_j$ contient le facteur $X-a_i$ et s'annule ; il reste $Q(a_i)=c_i{P}_i(a_i)$. Or, en dérivant $P=(X-a_i)P_i$, $P^{\prime }=P_i+(X-a_i)P_i^{\prime }$, d'où $P^{\prime }(a_i)=P_i(a_i)$, non nul puisque $a_i$ est racine simple. Donc $$c_i=\frac{Q(a_i)}{P^{\prime }(a_i)}.$$ Pour un pôle réel, c'est aussi la limite de $(x-a_i)\frac{Q(x)}{P(x)}$ quand $x\to a_i$, comme dans la méthode du cours. Le cas $Q=P^{\prime }$, de degré $n-1<n$ : chaque coefficient vaut $1$, et $\frac{P^{\prime }}{P}={\sum }_i\frac{1}{X-a_i}$ — la dérivée logarithmique de l'exercice 4, devenue une décomposition en éléments simples.

b) Les racines de l'unité. $P=X^n-1$ a pour racines simples les ${\omega }^k$, $0\le k\le n-1$, et $P^{\prime }=n{X}^{n-1}$ vaut en ${\omega }^k$ : $n{\omega }^{k(n-1)}=n\frac{{\omega }^{kn}}{{\omega }^k}=\frac{n}{{\omega }^k}$, puisque ${\omega }^{kn}=1$. Avec $Q=1$, le coefficient vaut $\frac{{\omega }^k}{n}$, et $$\frac{1}{X^n-1}=\frac{1}{n}\sum _{k=0}^{n-1}\frac{{\omega }^k}{X-{\omega }^k}.$$ Pour $n=2$, on retrouve $\frac{1}{2}(\frac{1}{X-1}-\frac{1}{X+1})$, la décomposition du cours.

c) Le retour de $\mathbb{C}$ à $\mathbb{R}$. Pour $n=3$, $\omega =j$ et ${\omega }^2=\bar{j}$. Les termes $\frac{j}{X-j}$ et $\frac{\bar{j}}{X-\bar{j}}$ sont conjugués ; réduits au même dénominateur $(X-j)(X-\bar{j})=X^2+X+1$, ils donnent $$\frac{j(X-\bar{j})+\bar{j}(X-j)}{X^2+X+1}=\frac{(j+\bar{j})X-2j\bar{j}}{X^2+X+1}=\frac{-X-2}{X^2+X+1},$$ car $j+\bar{j}=2\mathrm{Re}j=-1$ et $j\bar{j}=|j{|}^2=1$. D'où $\frac{1}{X^3-1}=\frac{1}{3}(\frac{1}{X-1}-\frac{X+2}{X^2+X+1})$. Le programme demande que la forme d'une décomposition réelle comportant un facteur irréductible de degré $2$ soit fournie ; ici, on ne l'a pas fournie : on l'a déduite de la décomposition complexe, qui n'a que des pôles simples. Contrôle en $X=0$ : $-1$ à gauche, $\frac{1}{3}(-1-2)=-1$ à droite.

d) Une primitive. Sur $]1,+\infty [$, $x-1>0$. On écrit $\frac{x+2}{x^2+x+1}=\frac{1}{2}\cdot \frac{2x+1}{x^2+x+1}+\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{x^2+x+1}$, pour faire apparaître la dérivée du dénominateur ; le premier morceau a pour primitive $\frac{1}{2}\ln (x^2+x+1)$, et, avec la forme canonique $x^2+x+1=(x+\frac{1}{2}{)}^2+\frac{3}{4}$, le second a pour primitive $\frac{3}{2}\times \frac{2}{\sqrt{3}}\mathrm{Arctan}\frac{2x+1}{\sqrt{3}}$. Une primitive de $x\mapsto \frac{1}{x^3-1}$ sur $]1,+\infty [$ est donc $$F(x)=\frac{1}{3}\ln (x-1)-\frac{1}{6}\ln (x^2+x+1)-\frac{1}{\sqrt{3}}\mathrm{Arctan}\frac{2x+1}{\sqrt{3}}.$$ Contrôle par dérivation : la dérivée du dernier terme vaut $\frac{1}{\sqrt{3}}\times \frac{2}{\sqrt{3}}\times \frac{1}{1+\frac{(2x+1{)}^2}{3}}=\frac{2}{3+(2x+1{)}^2}=\frac{1}{2(x^2+x+1)}$, donc $F^{\prime }(x)=\frac{1}{3(x-1)}-\frac{(2x+1)+3}{6(x^2+x+1)}=\frac{1}{3}(\frac{1}{x-1}-\frac{x+2}{x^2+x+1})$.

Le point délicat. L'hypothèse « racines simples » sert à un seul endroit, mais elle y est vitale : elle assure $P^{\prime }(a_i)\ne 0$. Et au c), regrouper les termes conjugués n'est pas une astuce : c'est le passage de la factorisation dans $\mathbb{C}[X]$ à celle dans $\mathbb{R}[X]$, où deux racines conjuguées s'écrivent ensemble en un trinôme irréductible.

Ce que l'exercice installe. Le coefficient d'un pôle simple est $\frac{Q(a)}{P^{\prime }(a)}$ : une dérivée apparaît là où l'on n'attendait qu'un quotient, et la décomposition se calcule d'un trait. La décomposition complexe fournit la décomposition réelle : c'est ainsi qu'on calcule, au chapitre 13, les primitives des fonctions rationnelles — logarithmes pour les pôles réels, arc tangente pour les paires conjuguées.