Les polynômes tels que $P^{\prime }$ divise $P$

Posons $n=\mathrm{deg}P\ge 1$. Comme $\mathrm{deg}{P}^{\prime }=n-1$, le quotient de $P$ par $P^{\prime }$ est de degré $1$ : en comparant les coefficients dominants ($a_n$ et $n{a}_n$), il s'écrit $\frac{1}{n}(X-a)$ pour un certain $a\in \mathbb{C}$ :

$$P=\frac{1}{n}(X-a)P^{\prime }.$$

Soit alors $b$ une racine de $P$, de multiplicité $m\ge 1$. Dans le membre de droite, $b$ est racine de $P^{\prime }$ avec multiplicité $m-1$ (caractérisation différentielle), donc racine du produit $(X-a)P^{\prime }$ avec multiplicité $m-1$ si $b\ne a$ — ce qui contredirait la multiplicité $m$ à gauche. Ainsi toute racine de $P$ est égale à $a$ : comme $P$ est scindé sur $\mathbb{C}$ (d'Alembert-Gauss), on a

$$P=\lambda (X-a{)}^n,\lambda \in {\mathbb{C}}^{\ast }.$$

Réciproquement, $P^{\prime }=n\lambda (X-a{)}^{n-1}$ divise bien $P=\frac{1}{n}(X-a)P^{\prime }$. ✔ Les solutions sont donc exactement les $\lambda (X-a{)}^n$, $\lambda \ne 0$, $n\ge 1$.