Les racines sixièmes de l'unité

Stratégie : lire les racines sur $\mathbb{C}$, puis apparier les conjuguées pour redescendre sur $\mathbb{R}$.

1) Sur $\mathbb{C}$. Les racines de $X^6-1$ sont les six racines sixièmes de l'unité, ${\omega }_k=e^{ik\pi /3}$ pour $k=0,\dots ,5$. Elles sont deux à deux distinctes, donc les six sont simples ; comme $X^6-1$ est unitaire de degré $6$, il est scindé et

$$X^6-1=\prod _{k=0}^5\left(X-e^{ik\pi /3}\right).$$

Ces six nombres sont les sommets d'un hexagone régulier inscrit dans le cercle unité : $1$, $e^{i\pi /3}$, $e^{2i\pi /3}$, $-1$, $e^{4i\pi /3}$ et $e^{5i\pi /3}$.

2) L'appariement. Les coefficients de $X^6-1$ sont réels : les racines non réelles se regroupent donc par paires conjuguées. Ici $1$ et $-1$ sont réelles ; il reste deux paires, $\left\{e^{i\pi /3},e^{-i\pi /3}\right\}$ et $\left\{e^{2i\pi /3},e^{-2i\pi /3}\right\}$, puisque $e^{5i\pi /3}=e^{-i\pi /3}$ et $e^{4i\pi /3}=e^{-2i\pi /3}$.

Pour chaque paire, on utilise l'identité $\left(X-e^{i\theta }\right)\left(X-e^{-i\theta }\right)=X^2-2\cos \theta X+1$ :

• $\theta =\frac{\pi }{3}$ : $2\cos \frac{\pi }{3}=1$, d'où le facteur $X^2-X+1$ ;
• $\theta =\frac{2\pi }{3}$ : $2\cos \frac{2\pi }{3}=-1$, d'où le facteur $X^2+X+1$.

$$\boxed{X^6-1=(X-1)(X+1)\left(X^2-X+1\right)\left(X^2+X+1\right).}$$

⚠️ La factorisation n'est terminée que si les trinômes sont irréductibles. Il faut le vérifier, et non le supposer : les deux ont pour discriminant $1-4=-3<0$, donc aucune racine réelle, donc irréductibles dans $\mathbb{R}[X]$. Sans ce contrôle, on ne saurait pas qu'on est allé au bout.

Contrôle numérique. En $X=2$ : à gauche $2^6-1=63$ ; à droite $1\times 3\times (4-2+1)\times (4+2+1)=1\times 3\times 3\times 7=63$. ✔ En $X=-2$ : à gauche $63$ ; à droite $(-3)\times (-1)\times (4+2+1)\times (4-2+1)=3\times 7\times 3=63$. ✔

Ce que l'exercice installe. Sur $\mathbb{C}$ on lit les racines ; sur $\mathbb{R}$ on les apparie. Un facteur réel irréductible de degré $2$ n'est rien d'autre qu'un couple de racines conjuguées écrites ensemble : c'est toute la différence entre les deux théorèmes de décomposition du chapitre. Le même raisonnement donne la factorisation réelle de $X^n-1$ pour tout $n$.