Multiplicité d'une racine

Polynômes · D. Dérivation, Taylor, multiplicités · niveau 2

Énoncé

Montrer que $1$ est racine de $P = X^{4} - 5 X^{3} + 9 X^{2} - 7 X + 2$ et déterminer sa multiplicité, puis factoriser $P$ .

Corrigé

Évaluons $P$ et ses dérivées successives en $1$ :

$P (1) = 1 - 5 + 9 - 7 + 2 = 0; P^{'} = 4 X^{3} - 15 X^{2} + 18 X - 7, P^{'} (1) = 0;$

$P^{''} = 12 X^{2} - 30 X + 18, P^{''} (1) = 0; P^{'''} = 24 X - 30, P^{'''} (1) = - 6 \neq = 0.$

Par la caractérisation différentielle, $1$ est racine de multiplicité exactement 3 : $P = (X - 1)^{3} (X - a)$ . Le produit des racines vaut $(- 1)^{4} \times 2 = 2 = 1^{3} \times a$ , donc $a = 2$ :

$P = (X - 1)^{3} (X - 2) .$

(Contrôle : somme des racines $= 1 + 1 + 1 + 2 = 5 = - \frac{- 5}{1}$ . ✔)

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