Racines de $P^{'}$ localisées par le théorème de Rolle

Application directe du cours · niveau 3 (difficile) · mathématiques (PCSI), chapitre 8 — Polynômes · D. Dérivation, Taylor, multiplicités

Énoncé

Soit $P \in R [X]$ scindé sur $R$ à racines simples $a_{1} < a_{2} < \dots < a_{n}$ ( $n \geq 2$ ), de coefficient dominant $λ$ . Montrer que $P^{'}$ est lui aussi scindé sur $R$ , à racines simples, avec exactement une racine dans chaque intervalle $] a_{i}, a_{i + 1} [$ .

Corrigé

Par Rolle (chapitre 6) : pour chaque $i \in {1, \dots, n - 1}$ , la fonction polynomiale $P$ s'annule en $a_{i}$ et $a_{i + 1}$ , est continue et dérivable sur $[a_{i}, a_{i + 1}]$ : il existe $c_{i} \in] a_{i}, a_{i + 1} [$ avec $P^{'} (c_{i}) = 0$ . Comme les intervalles $] a_{i}, a_{i + 1} [$ sont deux à deux disjoints, cela fournit $n - 1$ racines réelles distinctes de $P^{'}$ .

Or $P^{'}$ est de degré $n - 1$ : il ne peut avoir plus de $n - 1$ racines (nombre de racines $\leq$ degré). Il n'y en a donc pas d'autres, chacune est simple (une racine double compterait pour deux dans la factorisation, dépassant le degré), il y en a exactement une par intervalle, et $P^{'}$ est scindé :

$P^{'} = n λ i = 1 \prod n - 1 (X - c_{i}) .$

(L'analyse au service de l'algèbre : Rolle localise les racines de $P^{'}$ entre celles de $P$ — premier exemple des problèmes de localisation de racines.)

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Racines de P′ localisées par le théorème de Rolle

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Racines de $P^{'}$ localisées par le théorème de Rolle