Racines multiples : la dérivée les démasque, et le point critique de Van der Waals

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La définition de la multiplicité ($P=(X-\alpha {)}^{m}Q$ avec $Q(\alpha )\ne 0$) et sa caractérisation par les dérivées successives, la dérivée d'un produit, le théorème de d'Alembert-Gauss, l'identification des coefficients. La stratégie : une racine multiple de $P$ est une racine commune à $P$ et à $P^{\prime }$ ; on la cherche en résolvant $P(x)=P^{\prime }(x)=0$, sans connaître les racines.

a) La dérivée perd exactement une multiplicité. Si $P=(X-\alpha {)}^{m}Q$ avec $Q(\alpha )\ne 0$, alors $$P^{\prime }=(X-\alpha {)}^{m-1}(mQ+(X-\alpha )Q^{\prime }),$$ et le second facteur vaut $mQ(\alpha )\ne 0$ en $\alpha$. Pour $m\ge 2$, $\alpha$ est racine de $P^{\prime }$ de multiplicité exactement $m-1$ ; pour $m=1$, $P^{\prime }(\alpha )=Q(\alpha )\ne 0$. L'équivalence : par d'Alembert-Gauss, $P$ est scindé sur $\mathbb{C}$, et la seule question est la simplicité de ses racines. Une racine commune à $P$ et $P^{\prime }$ n'est pas simple, par ce qui précède ; réciproquement, une racine multiple de $P$ est racine de $P^{\prime }$. $P$ est à racines simples si et seulement si $P$ et $P^{\prime }$ n'ont aucune racine commune. Sur $\mathbb{R}$, ce serait faux : $X^2+1$ et $2X$ n'ont aucune racine commune, mais $X^2+1$ n'est pas scindé sur $\mathbb{R}$.

b) Le discriminant du troisième degré. Avec $P=X^3+pX+q$ et $P^{\prime }=3X^2+p$, il s'agit de savoir quand $P(x)=P^{\prime }(x)=0$ a une solution. Si $p=0$ : $P^{\prime }(x)=0$ force $x=0$, et $P(0)=q$ ; il y a racine multiple si et seulement si $q=0$, ce qui équivaut à $4p^3+27q^2=0$ lorsque $p=0$. Si $p\ne 0$ : $P^{\prime }(x)=0$ donne $x^2=-\frac{p}{3}$, donc $x^3=-\frac{p}{3}x$ et $P(x)=\frac{2p}{3}x+q$. Le système équivaut donc à $x=-\frac{3q}{2p}$ et $3x^2+p=0$, et une solution existe si et seulement si $\frac{27q^2}{4p^2}+p=0$, c'est-à-dire, en multipliant par $4p^2\ne 0$, $4p^3+27q^2=0$. Racine triple : $(X-x{)}^3=X^3-3x{X}^2+3x^{2}X-x^3$ n'a pas de terme en $X^2$ si et seulement si $x=0$ ; donc $P=X^3$, soit $p=q=0$. Contrôle : $X^3-3X+2$ a $4\times (-27)+27\times 4=0$, la racine multiple $x=-\frac{3\times 2}{2\times (-3)}=1$, et en effet $X^3-3X+2=(X-1{)}^2(X+2)$.

c) Le point critique d'un gaz réel. Multiplions l'équation d'état par $V^2\ne 0$ : $(P{V}^2+a)(V-b)=RT{V}^2$, soit, en développant, $P{V}^3-(Pb+RT)V^2+aV-ab=0$ : les volumes possibles sont des racines de $\Phi$. Au point critique, $\Phi$, de coefficient dominant $P_c$, a une racine triple $V_c$ : $\Phi =P_c(X-V_c{)}^3=P_c{X}^3-3P_c{V}_c{X}^2+3P_c{V}_c^{2}X-P_c{V}_c^3$. Identifions les coefficients : $$\{\begin{array}{l}3P_c{V}_c=P_{c}b+R{T}_c\\ 3P_c{V}_c^2=a\\ P_c{V}_c^3=ab\end{array}$$ En divisant la troisième équation par la deuxième, $\frac{V_c}{3}=b$ : $V_c=3b$. La deuxième donne $P_c=\frac{a}{3V_c^2}=\frac{a}{27b^2}$, et la première $R{T}_c=3P_c{V}_c-P_{c}b=8b{P}_c=\frac{8a}{27b}$. Enfin $$\frac{P_c{V}_c}{R{T}_c}=\frac{a}{27b^2}\times 3b\times \frac{27b}{8a}=\frac{3}{8},$$ le même nombre pour tous les gaz de Van der Waals : $a$ et $b$ se sont éliminés. Pour les gaz réels simples, ce rapport mesuré est plutôt compris entre $0,27$ et $0,30$ : le modèle donne l'allure des isothermes, pas la valeur exacte. Lecture par les dérivées : par la caractérisation de la multiplicité, « $V_c$ racine triple » équivaut à $\Phi (V_c)={\Phi }^{\prime }(V_c)={\Phi }^{\prime \prime }(V_c)=0\ne {\Phi }^{\prime \prime \prime }(V_c)$ — la traduction polynomiale de la définition des physiciens, pour qui le point critique est un point d'inflexion à tangente horizontale de l'isotherme critique.

Le point délicat. Au a), la multiplicité dans $P^{\prime }$ est exactement $m-1$, et non « au moins » : c'est le facteur $m$, non nul dans $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$, qui l'assure. Au c), on ne cherche pas les racines de $\Phi$ : on impose la forme $P_c(X-V_c{)}^3$ et l'on identifie, ce qui change trois conditions en trois équations.

Ce que l'exercice installe. Le test « $P$ et $P^{\prime }$ ont-ils une racine commune ? » détecte les racines multiples sans les calculer ; pour le troisième degré, il se résume au nombre $4p^3+27q^2$, dont le signe, pour $p$ et $q$ réels, sépare — on peut le montrer — les équations à une racine réelle de celles à trois. En thermodynamique, c'est la géométrie des isothermes d'un gaz réel : une seule racine réelle au-dessus de la température critique, une racine triple au point critique, jusqu'à trois racines en dessous, là où apparaît le palier de changement d'état.