Somme et produit des racines $n$-ièmes de l'unité

Le polynôme $X^n-1$ est scindé sur $\mathbb{C}$, de racines les ${\omega }_k=e^{2ik\pi /n}$, toutes simples :

$$X^n-1=\prod _{k=0}^{n-1}(X-{\omega }_k).$$

Il est unitaire, son coefficient en $X^{n-1}$ est $0$ (car $n\ge 2$) et son terme constant est $-1$. La somme des racines vaut donc :

$$\sum _{k=0}^{n-1}{\omega }_k=-\frac{0}{1}=0,$$

et leur produit :

$$\prod _{k=0}^{n-1}{\omega }_k=(-1{)}^n\times \frac{-1}{1}=(-1{)}^{n+1}.$$

(Contrôle pour $n=2$ : racines $1$ et $-1$, somme $0$ ✔, produit $-1=(-1{)}^3$ ✔. On retrouve aussi la somme nulle des racines de l'unité vue au chapitre 3.)