Somme, produit et racines en progression arithmétique

Application directe du cours · niveau 2 · mathématiques (PCSI), chapitre 8 — Polynômes · C. Somme et produit des racines

Énoncé

Résoudre $X^{3} - 6 X^{2} + 3 X + 10 = 0$ sachant que les racines sont en progression arithmétique.

Corrigé

Notons les racines $b - r$ , $b$ , $b + r$ . Leur somme vaut $3 b = - \frac{- 6}{1} = 6$ , donc $b = 2$ — et l'on vérifie que $2$ est bien racine : $8 - 24 + 6 + 10 = 0$ . ✔

Le produit vaut $(2 - r) 2 (2 + r) = (- 1)^{3} \times \frac{10}{1} = - 10$ , soit $2 (4 - r^{2}) = - 10$ , d'où $r^{2} = 9$ , $r = 3$ . Les racines sont :

$- 1, 2, 5.$

(Contrôle : $(X + 1) (X - 2) (X - 5) = X^{3} - 6 X^{2} + 3 X + 10$ . ✔)

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