Asymptote oblique

Factorisons le terme prépondérant et posons $u=\frac{1}{x}\to 0^{+}$ :

$$f(x)=x\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}=x\left(1+\frac{u+u^2}{2}-\frac{(u+u^2{)}^2}{8}+o\left(u^2\right)\right)=x\left(1+\frac{u}{2}+\frac{3u^2}{8}+o\left(u^2\right)\right),$$

en utilisant $\sqrt{1+t}=1+\frac{t}{2}-\frac{t^2}{8}+o(t^2)$ avec $t=u+u^2$ (donc $t^2=u^2+o(u^2)$). D'où :

$$f(x)=x+\frac{1}{2}+\frac{3}{8x}+o\left(\frac{1}{x}\right):$$

la droite $y=x+\frac{1}{2}$ est asymptote en $+\infty$, et $f(x)-\left(x+\frac{1}{2}\right)\sim \frac{3}{8x}>0$ : la courbe est au-dessus de l'asymptote.