Asymptotes : la variable $1/x$, et les deux côtés

La stratégie. En $\pm \infty$, la variable qui tend vers $0$ est $u=\frac{1}{x}$ : un développement limité en $u=0$, multiplié par la bonne puissance de $x$, devient un développement asymptotique. Les termes en $x$ et constant donnent l'asymptote ; le terme en $\frac{1}{x}$ donne la position — et son signe dépend de celui de $x$.

a) $f(x)=x{e}^{1/x}$. Avec $u=\frac{1}{x}\to 0$ (en $+\infty$ comme en $-\infty$) et $e^u=1+u+\frac{u^2}{2}+o(u^2)$ : $$f(x)=x\left(1+\frac{1}{x}+\frac{1}{2x^2}+o\left(\frac{1}{x^2}\right)\right)=x+1+\frac{1}{2x}+o\left(\frac{1}{x}\right).$$ Il fallait l'exponentielle à l'ordre $2$ : la multiplication par $x$ remonte tout d'un cran, et l'ordre $1$ n'aurait donné que $x+1+o(1)$ — l'asymptote, pas la position. Ainsi $f(x)-(x+1)\to 0$ : la droite $y=x+1$ est asymptote des deux côtés. Et $f(x)-(x+1)\sim \frac{1}{2x}$, qui a le signe de $x$ : la courbe est au-dessus en $+\infty$, au-dessous en $-\infty$. La même droite, deux positions. Contrôle : $f(10)-11=0,0517$ et $f(-10)-(-9)=-0,0484$.

b) $g(x)=\sqrt{x^2+x+1}$. On factorise le terme prépondérant, en prenant garde que $\sqrt{x^2}=|x|$ : $g(x)=|x|\sqrt{1+u+u^2}$ avec $u=\frac{1}{x}$. Avec $w=u+u^2\to 0$, $\sqrt{1+w}=1+\frac{w}{2}-\frac{w^2}{8}+o(w^2)$ et $w^2=u^2+o(u^2)$ : $$\sqrt{1+u+u^2}=1+\frac{u}{2}+\frac{u^2}{2}-\frac{u^2}{8}+o(u^2)=1+\frac{u}{2}+\frac{3u^2}{8}+o(u^2).$$ En $+\infty$, $|x|=x$ : $g(x)=x+\frac{1}{2}+\frac{3}{8x}+o\left(\frac{1}{x}\right)$ ; asymptote $y=x+\frac{1}{2}$, courbe au-dessus puisque $\frac{3}{8x}>0$.

En $-\infty$, $|x|=-x$ : $g(x)=-x-\frac{1}{2}-\frac{3}{8x}+o\left(\frac{1}{x}\right)$ ; asymptote $y=-x-\frac{1}{2}$, et l'écart $-\frac{3}{8x}$ est positif puisque $x<0$ : courbe encore au-dessus.

L'asymptote change parce que la racine d'un carré est une valeur absolue : la fonction se comporte comme $|x|$, de pente $1$ à droite et $-1$ à gauche. Contrôle : $g(10)-10,5=0,0357$ et $g(-10)-9,5=0,0394$, proches de $\frac{3}{80}=0,0375$.

c) $h(x)=\frac{x^3}{x^2-1}$. Pour une fraction rationnelle, aucun développement n'est nécessaire : la division euclidienne (chapitre sur les polynômes) donne $x^3=x(x^2-1)+x$, donc, pour $|x|>1$, $$h(x)=x+\frac{x}{x^2-1}.$$ L'écart $\frac{x}{x^2-1}$ est exact, équivalent à $\frac{1}{x}$, donc de limite nulle : $y=x$ est asymptote des deux côtés. Il a le signe de $x$ : courbe au-dessus en $+\infty$, au-dessous en $-\infty$ — ce qu'imposait l'imparité de $h$ ($h(10)=10,101$, $h(-10)=-10,101$).

Le point délicat. La position se lit sur le signe du terme en $\frac{1}{x}$, qui dépend du signe de $x$ : conclure en $+\infty$ puis recopier en $-\infty$ est la faute. Et au b), écrire $\sqrt{x^2}=x$ pour $x$ négatif donnerait en $-\infty$ une asymptote de pente $1$, fausse.

Ce que l'exercice installe. Les branches infinies se traitent en $u=\frac{1}{x}$, avec un ordre de plus que la puissance de $x$ qui multiplie ; une racine paire cache une valeur absolue ; et la position par rapport à l'asymptote est une propriété de chaque branche, pas de la courbe. Pour une fraction rationnelle, la division euclidienne dit tout, exactement.