Asymptotes : la variable $1/x$, et les deux côtés

La stratégie. En $\pm \infty$, la variable qui tend vers $0$ est $u=\frac{1}{x}$ : un développement limité en $u=0$, multiplié par la bonne puissance de $x$, devient un développement asymptotique. Les termes en $x$ et constant donnent l'asymptote ; le terme en $\frac{1}{x}$ donne la position — et son signe dépend de celui de $x$.

a) $f(x)=x{e}^{1/x}$. Avec $u=\frac{1}{x}\to 0$ (en $+\infty$ comme en $-\infty$) et $e^u=1+u+\frac{u^2}{2}+o(u^2)$ : $$f(x)=x\left(1+\frac{1}{x}+\frac{1}{2x^2}+o\left(\frac{1}{x^2}\right)\right)=x+1+\frac{1}{2x}+o\left(\frac{1}{x}\right).$$ Il fallait l'exponentielle à l'ordre $2$ : la multiplication par $x$ remonte tout d'un cran, et l'ordre $1$ n'aurait donné que $x+1+o(1)$ — l'asymptote, pas la position. Ainsi $f(x)-(x+1)\to 0$ : la droite $y=x+1$ est asymptote des deux côtés. Et $f(x)-(x+1)\sim \frac{1}{2x}$, qui a le signe de $x$ : la courbe est au-dessus en $+\infty$, au-dessous en $-\infty$. La même droite, deux positions. Contrôle : $f(10)-11=0,0517$ et $f(-10)-(-9)=-0,0484$.