mathématiques (PCSI) · Chapitre 9 · Exercice classique

Deux infinis qui se compensent

Analyse asymptotique · C. Limites · niveau 2

Énoncé

Calculer $x \to 0 lim (\frac{1}{x ^{2}} - \frac{1}{sin ^{2} x})$ .

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Élève

Comme $sin x \sim x$ , j'ai $\frac{1}{s i n ^{2} x} \sim \frac{1}{x ^{2}}$ , donc la différence tend vers $0$ , non ?

Non : deux équivalents ne se soustraient pas. Chacun des deux termes tend vers $+ \infty$ , et leur différence est une forme indéterminée que les équivalents ne savent pas trancher. Quelle transformation algébrique te ramènerait à un seul quotient, plus facile à estimer ?

Élève

En réduisant au même dénominateur, j'obtiens une seule fraction dont le numérateur et le dénominateur tendent tous les deux vers $0$ .

Bien. Le dénominateur est équivalent à une puissance de $x$ que tu peux lire directement : qu'est-ce que cela t'impose sur l'ordre auquel développer le numérateur, et pourquoi faut-il aller au-delà de son premier terme ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. Le corrigé de cet exercice n'est pas publié : à toi de continuer.

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