Deux infinis qui se compensent

Stratégie : réduire au même dénominateur, puis développer. Chacun des deux termes tend vers $+\infty$ : c'est une forme indéterminée « $\infty -\infty$ », que ni les équivalents ni les limites ne savent trancher. On en fait une seule fraction.

La mise sur dénominateur commun. $$\frac{1}{x^2}-\frac{1}{{\sin }^{2}x}=\frac{{\sin }^{2}x-x^2}{x^2{\sin }^{2}x}.$$

Le décompte des ordres, avant tout calcul. Le dénominateur $x^2{\sin }^{2}x$ est équivalent à $x^4$, puisque $\sin x\sim x$. Il faut donc le numérateur à l'ordre 4. Or les termes en $x^2$ du numérateur se détruisent : c'est précisément pour cela qu'il faut pousser.

Le numérateur. De $\sin x=x-\frac{x^3}{6}+o\left(x^4\right)$ on tire, en élevant au carré et en tronquant à l'ordre $4$ : $${\sin }^{2}x=x^2-2\cdot x\cdot \frac{x^3}{6}+o\left(x^4\right)=x^2-\frac{x^4}{3}+o\left(x^4\right),$$ donc $${\sin }^{2}x-x^2=-\frac{x^4}{3}+o\left(x^4\right)\sim -\frac{x^4}{3}.$$

La conclusion. Numérateur et dénominateur étant tous deux estimés, le quotient d'équivalents donne $$\frac{{\sin }^{2}x-x^2}{x^2{\sin }^{2}x}\sim \frac{-\frac{x^4}{3}}{x^4}=-\frac{1}{3},\boxed{\underset{x\to 0}{\lim }\left(\frac{1}{x^2}-\frac{1}{{\sin }^{2}x}\right)=-\frac{1}{3}.}$$

⚠️ Le point délicat. Écrire $\sin x\sim x$ et en déduire $\frac{1}{{\sin }^{2}x}\sim \frac{1}{x^2}$ est exact, mais ne permet pas de conclure : on retomberait sur la différence de deux équivalents, c'est-à-dire sur rien. Ici il faut trois ordres de précision de plus que le terme dominant, exactement parce que ce terme dominant s'élimine.

Contrôle numérique. En $x=0,1$ : $\frac{1}{0,01}-\frac{1}{{\sin }^2(0,1)}=100-100,334=-0,334$, à comparer à $-\frac{1}{3}=-0,3333$.

Le signe est instructif. Le résultat est négatif : c'est la traduction chiffrée de $\sin x<x$ pour $x>0$, qu'on retrouve donc en filigrane.

Ce que l'exercice installe. « $\infty -\infty$ » se traite en une seule fraction, et l'ordre nécessaire se lit sur le dénominateur : si celui-ci est équivalent à $x^p$, il faut le numérateur à l'ordre $p$. Prévoir cet ordre est la première ligne du brouillon, pas la dernière.