mathématiques (PCSI) · Chapitre 9 · Application directe du cours

Développement limité d'un produit

Analyse asymptotique · B. Calculs de développements limités · ★ niveau 1 (application)

Corrigé

On multiplie les ${\mathrm{DL}}_3$ et on tronque à l'ordre $3$ :

$$\left(x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}\right)\left(1+x+x^2+x^3\right)=x+\left(1-\frac{1}{2}\right)x^2+\left(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)x^3+o(x^3),$$

$$\boxed{\frac{\ln (1+x)}{1-x}=x+\frac{x^2}{2}+\frac{5x^3}{6}+o\left(x^3\right).}$$