Équation à paramètre

Analyse asymptotique · F. Problèmes asymptotiques · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Pour $n \in N^{*}$ , on note $x_{n}$ l'unique solution de l'équation $x + ln x = n$ sur $] 0, + \infty [$ . Justifier l'existence de $x_{n}$ , puis déterminer un développement asymptotique de $x_{n}$ à deux termes.

Corrigé

Existence : $g (x) = x + ln x$ est continue, strictement croissante, de limites $- \infty$ et $+ \infty$ : c'est une bijection de $] 0, + \infty [$ sur $R$ (théorème de la bijection), d'où un unique $x_{n} = g^{- 1} (n)$ , et $(x_{n})$ tend vers $+ \infty$ (car $g^{- 1}$ croît vers $+ \infty$ ).

Premier terme : de $x_{n} + ln x_{n} = n$ et $ln x_{n} = o (x_{n})$ , on tire $n = x_{n} (1 + o (1))$ , donc $x_{n} \sim n$ .

Deuxième terme : alors $ln x_{n} = ln (n (1 + o (1))) = ln n + ln (1 + o (1)) = ln n + o (1)$ , et en reportant :

$x_{n} = n - ln x_{n} = n - ln n + o (1) .$

$x_{n} = n - ln n + o (1) .$

(La méthode est typique : un premier équivalent « grossier », réinjecté dans l'équation, produit le terme suivant — on peut itérer.)

Énoncé

Corrigé

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