Étude locale complète

$f^{\prime }(x)=e^x-1$ s'annule en $0$ (point critique) et $f^{\prime \prime }(0)=e^0=1>0$ : la condition suffisante à l'ordre 2 donne un minimum local en $0$ (qui est même global ici : $e^x\ge 1+x$, chapitre 4 !). Par Taylor-Young :

$$f(x)=1+\frac{x^2}{2}+o\left(x^2\right):$$

la tangente en $0$ est l'horizontale $y=1$, et $f(x)-1\sim \frac{x^2}{2}>0$ : la courbe est au-dessus de sa tangente au voisinage de $0$.