Étude locale complète

Application directe du cours · niveau 2 · mathématiques (PCSI), chapitre 9 — Analyse asymptotique · D. Études locales : tangentes, asymptotes, extremums

Énoncé

Soit $f (x) = e^{x} - x$ . Montrer que $f$ admet un minimum local en $0$ , donner la tangente en $0$ au graphe et la position relative de la courbe.

Corrigé

$f^{'} (x) = e^{x} - 1$ s'annule en $0$ (point critique) et $f^{''} (0) = e^{0} = 1 > 0$ : la condition suffisante à l'ordre 2 donne un minimum local en $0$ (qui est même global ici : $e^{x} \geq 1 + x$ , chapitre 4 !). Par Taylor-Young :

$f (x) = 1 + \frac{x ^{2}}{2} + o (x^{2}) :$

la tangente en $0$ est l'horizontale $y = 1$ , et $f (x) - 1 \sim \frac{x ^{2}}{2} > 0$ : la courbe est au-dessus de sa tangente au voisinage de $0$ .

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.